Calcule
\int_{C} \nabla f \cdot d \mathbf{r}
onde f(x, y)=x^{2} y+y^{3} e C é qualquer curva suave por partes de (0,1) a (2,3).

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede um integral de linha envolvendo o gradiente de f. Especificamente:
  • A função é \;f(x,y)=x^{2}y+y^{3}.
  • A curva C é qualquer curva suave por partes que vai de (0,1) a (2,3).
  • O que se pede calcular é
\int_{C} \nabla f \cdot d\mathbf{r}.
As informações relevantes são, portanto, a forma explícita de f e os pontos inicial \,(0,1)\, e final \,(2,3)\, da curva C.

Passo 2

Calcular o gradiente \nabla f. Lembre: o gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de f. Ou seja,
\nabla f=(f_x,f_y),
onde f_x é a derivada parcial de f em relação a x (tratando y como constante) e f_y é a derivada parcial em relação a y (tratando x como constante).
Para f(x,y)=x^{2}y+y^{3} temos:
f_x=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y+y^{3})=2xy,
f_y=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y+y^{3})=x^{2}+3y^{2}.
Portanto
\nabla f(x,y)=\bigl(2xy,\;x^{2}+3y^{2}\bigr).

Passo 3

Usar a identidade fundamental que liga o gradiente e integrais de linha. Vou explicar passo a passo por que vale:
Se \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)) é uma parametrização de C em t\in[a,b], então a regra da cadeia dá
\frac{d}{dt}f\bigl(x(t),y(t)\bigr)=f_x(x(t),y(t))\,x'(t)+f_y(x(t),y(t))\,y'(t).
Isso é exatamente o produto escalar \nabla f(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t). Logo
\frac{d}{dt}f(\mathbf{r}(t))=\nabla f(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t).
Integrando ambos os lados de t=a até t=b e aplicando o teorema fundamental do cálculo,
\int_{a}^{b}\nabla f(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt = f(\mathbf{r}(b))-f(\mathbf{r}(a)).
Mas o lado esquerdo é exatamente a integral de linha \int_{C}\nabla f\cdot d\mathbf{r}. Portanto, para qualquer curva C suave por partes que liga um ponto A a um ponto B,
\int_{C}\nabla f\cdot d\mathbf{r}=f(B)-f(A).
Observação: isso exige apenas que f tenha derivadas parciais contínuas na região (aqui f é um polinômio, então não há problema). Assim a integral depende somente dos pontos extremos, não da curva.

Passo 4

Aplicar a fórmula com os extremos dados. Os pontos são A=(0,1) e B=(2,3). Calculamos f nesses pontos passo a passo.
Calcular f(2,3):
f(2,3)=2^{2}\cdot 3 + 3^{3}=4\cdot 3 + 27=12+27=39.
Calcular f(0,1):
f(0,1)=0^{2}\cdot 1 + 1^{3}=0+1=1.
Portanto, pela identidade do passo anterior,
\int_{C}\nabla f\cdot d\mathbf{r}=f(2,3)-f(0,1)=39-1=38.

Passo 5

Para reforçar (opcional, verificação): parametrizando a reta entre (0,1) e (2,3) por \mathbf{r}(t)=(2t,\,1+2t), t\in[0,1], tem-se \mathbf{r}'(t)=(2,2). Avaliando \nabla f em \mathbf{r}(t) e fazendo o produto escalar e a integral obtém-se, após simplificar,
\int_{0}^{1}\bigl(6+32t+48t^{2}\bigr)\,dt=6+16+16=38,
confirmando o resultado anterior. Isso ilustra que qualquer curva entre os pontos dá o mesmo valor.

Resposta

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