Calcule
onde
e
é qualquer curva suave por partes de
a
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede um integral de linha envolvendo o gradiente de
. Especificamente:
- A função é
. - A curva
é qualquer curva suave por partes que vai de a . - O que se pede calcular é
As informações relevantes são, portanto, a forma explícita de
e os pontos inicial
e final
da curva
.
Passo 2
Calcular o gradiente
. Lembre: o gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de
. Ou seja,
onde
é a derivada parcial de
em relação a
(tratando
como constante) e
é a derivada parcial em relação a
(tratando
como constante).
Para
temos:
Portanto
Passo 3
Usar a identidade fundamental que liga o gradiente e integrais de linha. Vou explicar passo a passo por que vale:
Se é uma parametrização de
em
, então a regra da cadeia dá
Se
Isso é exatamente o produto escalar
. Logo
Integrando ambos os lados de
até
e aplicando o teorema fundamental do cálculo,
Mas o lado esquerdo é exatamente a integral de linha
. Portanto, para qualquer curva
suave por partes que liga um ponto
a um ponto
,
Observação: isso exige apenas que
tenha derivadas parciais contínuas na região (aqui
é um polinômio, então não há problema). Assim a integral depende somente dos pontos extremos, não da curva.
Passo 4
Aplicar a fórmula com os extremos dados. Os pontos são
e
. Calculamos
nesses pontos passo a passo.
Calcular
:
Calcular
:
Portanto, pela identidade do passo anterior,
Passo 5
Para reforçar (opcional, verificação): parametrizando a reta entre
e
por
,
, tem-se
. Avaliando
em
e fazendo o produto escalar e a integral obtém-se, após simplificar,
confirmando o resultado anterior. Isso ilustra que qualquer curva entre os pontos dá o mesmo valor.
Resposta
38