Dado o campo vetorial \mathbf{E}=4 x y^{2} \cos 2 x a_{x}+2 x y \operatorname{sen} 2 x a_{y}+y^{2} \operatorname{sen} 2 x a_{z} para a região |x|,|y| \mathrm{e}|z| menores que 2, encontre:
as superfícies nas quais E_{y}=0;

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\mathbf{E}=4 x y^{2}\cos 2x\,a_{x}+2 x y\operatorname{sen}2x\,a_{y}+y^{2}\operatorname{sen}2x\,a_{z}
definido na região |x|,|y|,|z|<2. A pergunta específica é: encontrar as superfícies nas quais E_{y}=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O componente E_{y} do campo é 2 x y\operatorname{sen}2x (peguei isso diretamente do enunciado).
  • A região considerada impõe a restrição |x|<2, |y|<2, |z|<2.
  • Queremos as superfícies (conjuntos de pontos no espaço) onde esse componente E_{y} vale zero.

Passo 2

Vamos reescrever o componente E_{y} usando a notação trigonométrica usual em LaTeX: quando o enunciado escreveu \operatorname{sen}2x, vou usar \sin 2x. Assim,
E_{y}=2 x y \sin 2x.
Isto é o que vamos estudar: procurar os pontos (x,y,z) tal que 2 x y \sin 2x=0.

Passo 3

Regra matemática usada (explicação didática): se um produto de fatores reias é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Aqui o produto tem três fatores: 2 (constante), x e y e \sin 2x. Como 2\neq 0, concluímos que
2 x y \sin 2x=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad y=0\quad\text{ou}\quad \sin 2x=0.
Isso gera as três famílias de superfícies candidatas.

Passo 4

Analisemos cada caso separadamente e descrevamos a superfície correspondente.
Caso 1: x=0.
  • A equação x=0 descreve o plano coordenado que contém os eixos y e z. Em notação de conjuntos:
\{(x,y,z)\mid x=0\}.
É uma superfície (plano) inteira contida na região dada, porque |0|<2.
Caso 2: y=0.
  • A equação y=0 descreve o plano coordenado que contém os eixos x e z. Em notação:
\{(x,y,z)\mid y=0\}.
Também é uma superfície válida dentro da região |y|<2.
Caso 3: \sin 2x=0.
  • Resolver \sin 2x=0 2x = n\pi, onde n é um número inteiro. Logo
x=\frac{n\pi}{2},\qquad n\in\mathbb{Z}.
Cada valor fixo de x dessa forma determina um plano paralelo ao plano yz: \{(x,y,z)\mid x=\tfrac{n\pi}{2}\}.

Passo 5

Agora aplicamos a restrição de domínio |x|<2 para ver quais desses planos com x=\tfrac{n\pi}{2} ficam dentro da região.
Cálculo dos candidatos:
\frac{n\pi}{2}\in(-2,2)\quad\Longrightarrow\quad n\in\mathbb{Z}\\ \text{tais que}\\ \left|\frac{n\pi}{2}\right|<2.
Como \pi\approx3,1416 e \pi/2\approx1,5708, os valores possíveis de n que satisfazem a desigualdade são n=0, \pm1. Para esses:
  • n=0 x=0 (já listado no Caso 1).
  • n=1 x=\dfrac{\pi}{2}\approx1,5708 (dentro do intervalo (-2,2)).
  • n=-1 x=-\dfrac{\pi}{2}\approx-1,5708 (também dentro).
Valores com |n|\ge2 produzem |x|\ge\pi\approx3,14>2, portanto estão fora da região considerada e não entram na solução.

Passo 6

Resumo geométrico (didático e prático):
  • As superfícies onde E_{y}=0 são a união dos planos:
    • x=0 (plano yz),
    • y=0 (plano xz),
    • x=\dfrac{\pi}{2} (plano paralelo ao yz com coordenada x=\pi/2),
    • x=-\dfrac{\pi}{2} (plano paralelo ao yz com coordenada x=-\pi/2).
  • Todas essas superfícies estão dentro da região |x|,|y|,|z|<2, exceto que planos com x=\dfrac{n\pi}{2} para |n|\ge2 seriam excluídos — já os descartamos.

Passo 7

Observações finais rápidas e motivação (um empurrãozinho): resolver E_{y}=0 aqui foi só fatorar e aplicar a ideia simples de produto nulo, depois impor a condição geométrica do domínio. Em prova, faça assim: escreva E_{y}, fatorize, enumere os casos e depois verifique restrições de domínio — é rápido e seguro.

Resposta

x=0
y=0
x=\dfrac{\pi}{2}
x=-\dfrac{\pi}{2}

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