Dado o campo vetorial \mathbf{E}=4 x y^{2} \cos 2 x a_{x}+2 x y \operatorname{sen} 2 x a_{y}+y^{2} \operatorname{sen} 2 x a_{z} para a região |x|,|y| \mathrm{e}|z| menores que 2, encontre:
as superfícies nas quais E_{y}=0;
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
\mathbf{E}=4 x y^{2}\cos 2x\,a_{x}+2 x y\operatorname{sen}2x\,a_{y}+y^{2}\operatorname{sen}2x\,a_{z}
definido na região |x|,|y|,|z|<2. A pergunta específica é: encontrar as superfícies nas quais E_{y}=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O componente E_{y} do campo é 2 x y\operatorname{sen}2x (peguei isso diretamente do enunciado).
A região considerada impõe a restrição |x|<2, |y|<2, |z|<2.
Queremos as superfícies (conjuntos de pontos no espaço) onde esse componente E_{y} vale zero.
Passo 2
Vamos reescrever o componente E_{y} usando a notação trigonométrica usual em LaTeX: quando o enunciado escreveu \operatorname{sen}2x, vou usar \sin 2x. Assim,
E_{y}=2 x y \sin 2x.
Isto é o que vamos estudar: procurar os pontos (x,y,z) tal que 2 x y \sin 2x=0.
Passo 3
Regra matemática usada (explicação didática): se um produto de fatores reias é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Aqui o produto tem três fatores: 2 (constante), x e y e \sin 2x. Como 2\neq 0, concluímos que
2 x y \sin 2x=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad y=0\quad\text{ou}\quad \sin 2x=0.
Isso gera as três famílias de superfícies candidatas.
Passo 4
Analisemos cada caso separadamente e descrevamos a superfície correspondente.
Caso 1: x=0.
A equação x=0 descreve o plano coordenado que contém os eixos y e z. Em notação de conjuntos:
\{(x,y,z)\mid x=0\}.
É uma superfície (plano) inteira contida na região dada, porque |0|<2.
Caso 2: y=0.
A equação y=0 descreve o plano coordenado que contém os eixos x e z. Em notação:
\{(x,y,z)\mid y=0\}.
Também é uma superfície válida dentro da região |y|<2.
Caso 3: \sin 2x=0.
Resolver \sin 2x=0 dá 2x = n\pi, onde n é um número inteiro. Logo
x=\frac{n\pi}{2},\qquad n\in\mathbb{Z}.
Cada valor fixo de x dessa forma determina um plano paralelo ao plano yz: \{(x,y,z)\mid x=\tfrac{n\pi}{2}\}.
Passo 5
Agora aplicamos a restrição de domínio |x|<2 para ver quais desses planos com x=\tfrac{n\pi}{2} ficam dentro da região.
Como \pi\approx3,1416 e \pi/2\approx1,5708, os valores possíveis de n que satisfazem a desigualdade são n=0, \pm1. Para esses:
n=0 dá x=0 (já listado no Caso 1).
n=1 dá x=\dfrac{\pi}{2}\approx1,5708 (dentro do intervalo (-2,2)).
n=-1 dá x=-\dfrac{\pi}{2}\approx-1,5708 (também dentro).
Valores com |n|\ge2 produzem |x|\ge\pi\approx3,14>2, portanto estão fora da região considerada e não entram na solução.
Passo 6
Resumo geométrico (didático e prático):
As superfícies onde E_{y}=0 são a união dos planos:
x=0 (plano yz),
y=0 (plano xz),
x=\dfrac{\pi}{2} (plano paralelo ao yz com coordenada x=\pi/2),
x=-\dfrac{\pi}{2} (plano paralelo ao yz com coordenada x=-\pi/2).
Todas essas superfícies estão dentro da região |x|,|y|,|z|<2, exceto que planos com x=\dfrac{n\pi}{2} para |n|\ge2 seriam excluídos — já os descartamos.
Passo 7
Observações finais rápidas e motivação (um empurrãozinho): resolver E_{y}=0 aqui foi só fatorar e aplicar a ideia simples de produto nulo, depois impor a condição geométrica do domínio. Em prova, faça assim: escreva E_{y}, fatorize, enumere os casos e depois verifique restrições de domínio — é rápido e seguro.