Questão 4. Dado o campo vetorial
:
a) Calcule
no ponto
.
b) Expresse o campo
no ponto
em coordenadas cartesianas.
a) Calcule
b) Expresse o campo
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede:
- (a) calcular
no ponto ; - (b) expressar o campo
no ponto em coordenadas cartesianas.
Informações relevantes fornecidas:
- Os coeficientes de
são constantes: . - O ponto
tem coordenadas cartesianas .
Passo 2
Rápida revisão (útil para a prova) sobre coordenadas cilíndricas e as relações entre as bases:
- Em coordenadas cilíndricas as variáveis são
, onde
- As uni-dades de base relacionam-se com as cartesianas por
- Para converter
para cartesianas usa-se
(Nota: aqui tomei cuidado com os sinais — derive sempre a partir das expressões das bases acima na prova para não errar.)
Passo 3
Calcular
e as funções trigonométricas de
no ponto
.
Usando as relações
e
(essas fórmulas são diretas e muito úteis na prova),
(Se quiser o ângulo
explícito,
, mas para conversões basta
e
.)
Passo 4
Avaliar o campo no ponto
em forma cilíndrica (simples observação).
Os coeficientes são constantes, logo no ponto o campo é
Os coeficientes são constantes, logo no ponto
com
e
dados no passo anterior. (Isto responde a parte (a): avaliar significa colocar as uni-dades no ponto — os coeficientes já eram constantes.)
Passo 5
Converter
para coordenadas cartesianas usando as relações do passo 2.
Aqui . Então
Aqui
Passo 6
Substituir
e
(do passo 3) e simplificar exatamente.
Passo 7
Se for útil ter aproximações numéricas (útil na prova para conferir ordens de grandeza):
portanto em componentes cartesianas aproximadas
Resposta
(a)
com
,
,
.\n
(b) .
(b)