Questão 4. Dado o campo vetorial \overrightarrow{\mathbf{F}}=20 \hat{\mathbf{a}}_{\rho}-10 \hat{\mathbf{a}}_{\varnothing}+6 \hat{\mathbf{a}}_{\mathrm{z}} :
a) Calcule \overrightarrow{\mathbf{F}} no ponto \mathrm{P}(\mathrm{x}=-2, \mathrm{y}=-3, \mathrm{z}=4).
b) Expresse o campo \overrightarrow{\mathbf{F}} no ponto P em coordenadas cartesianas.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\overrightarrow{\mathbf{F}}=20\hat{\mathbf{a}}_{\rho}-10\hat{\mathbf{a}}_{\varphi}+6\hat{\mathbf{a}}_{z}
e pede:
  • (a) calcular \overrightarrow{\mathbf{F}} no ponto P(x=-2,y=-3,z=4);
  • (b) expressar o campo \overrightarrow{\mathbf{F}} no ponto P em coordenadas cartesianas.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os coeficientes de \hat{\mathbf{a}}_{\rho},\hat{\mathbf{a}}_{\varphi},\hat{\mathbf{a}}_{z} são constantes: 20,\,-10,\;6.
  • O ponto P tem coordenadas cartesianas x=-2,\;y=-3,\;z=4.

Passo 2

Rápida revisão (útil para a prova) sobre coordenadas cilíndricas e as relações entre as bases:
  • Em coordenadas cilíndricas as variáveis são \rho,\varphi,z, onde
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\qquad \varphi=\operatorname{atan2}(y,x).
  • As uni-dades de base relacionam-se com as cartesianas por
\hat{\mathbf{a}}_{\rho}=\cos\varphi\,\hat{\mathbf{a}}_{x}+\sin\varphi\,\hat{\mathbf{a}}_{y}, \qquad \hat{\mathbf{a}}_{\varphi}=-\sin\varphi\,\hat{\mathbf{a}}_{x}+\cos\varphi\,\hat{\mathbf{a}}_{y}, \qquad \hat{\mathbf{a}}_{z}=\hat{\mathbf{a}}_{z}.
  • Para converter \overrightarrow{\mathbf{F}}=F_{\rho}\hat{\mathbf{a}}_{\rho}+F_{\varphi}\hat{\mathbf{a}}_{\varphi}+F_{z}\hat{\mathbf{a}}_{z} para cartesianas usa-se
\begin{aligned} F_{x}&=F_{\rho}\cos\varphi - F_{\varphi}\sin\varphi,\\\ F_{y}&=F_{\rho}\sin\varphi + F_{\varphi}\cos\varphi,\\\ F_{z}&=F_{z}. \end{aligned}
(Nota: aqui tomei cuidado com os sinais — derive sempre a partir das expressões das bases acima na prova para não errar.)

Passo 3

Calcular \rho e as funções trigonométricas de \varphi no ponto P.
\rho=\sqrt{(-2)^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}.
Usando as relações \cos\varphi=x/\rho e \sin\varphi=y/\rho (essas fórmulas são diretas e muito úteis na prova),
\cos\varphi=\frac{-2}{\sqrt{13}},\qquad \sin\varphi=\frac{-3}{\sqrt{13}}.
(Se quiser o ângulo \varphi explícito, \varphi=\operatorname{atan2}(-3,-2), mas para conversões basta \cos\varphi e \sin\varphi.)

Passo 4

Avaliar o campo no ponto P em forma cilíndrica (simples observação).
Os coeficientes são constantes, logo no ponto P o campo é
\overrightarrow{\mathbf{F}}(P)=20\hat{\mathbf{a}}_{\rho}-10\hat{\mathbf{a}}_{\varphi}+6\hat{\mathbf{a}}_{z},
com \rho=\sqrt{13} e \cos\varphi,\sin\varphi dados no passo anterior. (Isto responde a parte (a): avaliar significa colocar as uni-dades no ponto — os coeficientes já eram constantes.)

Passo 5

Converter \overrightarrow{\mathbf{F}}(P) para coordenadas cartesianas usando as relações do passo 2.
Aqui F_{\rho}=20,\;F_{\varphi}=-10,\;F_{z}=6. Então
\begin{aligned} F_{x}(P)&=F_{\rho}\cos\varphi - F_{\varphi}\sin\varphi =20\cos\varphi -(-10)\sin\varphi =20\cos\varphi+10\sin\varphi,\\[4pt] F_{y}(P)&=F_{\rho}\sin\varphi + F_{\varphi}\cos\varphi =20\sin\varphi +(-10)\cos\varphi =20\sin\varphi-10\cos\varphi,\\[4pt] F_{z}(P)&=6. \end{aligned}]

Passo 6

Substituir \cos\varphi e \sin\varphi (do passo 3) e simplificar exatamente.
\begin{aligned} F_{x}(P)&=20\cdot\left(-\frac{2}{\sqrt{13}}\right)+10\cdot\left(-\frac{3}{\sqrt{13}}\right) =\frac{-40-30}{\sqrt{13}}=-\frac{70}{\sqrt{13}},\\[4pt] F_{y}(P)&=20\cdot\left(-\frac{3}{\sqrt{13}}\right)-10\cdot\left(-\frac{2}{\sqrt{13}}\right) =\frac{-60+20}{\sqrt{13}}=-\frac{40}{\sqrt{13}},\\[4pt] F_{z}(P)&=6. \end{aligned}]

Passo 7

Se for útil ter aproximações numéricas (útil na prova para conferir ordens de grandeza):
-\frac{70}{\sqrt{13}}\approx -19,415,\qquad -\frac{40}{\sqrt{13}}\approx -11,094,
portanto em componentes cartesianas aproximadas
\overrightarrow{\mathbf{F}}(P)\approx -19,415\,\hat{\mathbf{a}}_{x}-11,094\,\hat{\mathbf{a}}_{y}+6\,\hat{\mathbf{a}}_{z}.

Resposta

(a) \overrightarrow{\mathbf{F}}(P)=20\hat{\mathbf{a}}_{\rho}-10\hat{\mathbf{a}}_{\varphi}+6\hat{\mathbf{a}}_{z} com \rho=\sqrt{13}, \cos\varphi=-\dfrac{2}{\sqrt{13}}, \sin\varphi=-\dfrac{3}{\sqrt{13}}.\n
(b) \displaystyle \overrightarrow{\mathbf{F}}(P)=-\dfrac{70}{\sqrt{13}}\hat{\mathbf{a}}_{x}-\dfrac{40}{\sqrt{13}}\hat{\mathbf{a}}_{y}+6\hat{\mathbf{a}}_{z}\approx -19,415\,\hat{\mathbf{a}}_{x}-11,094\,\hat{\mathbf{a}}_{y}+6\,\hat{\mathbf{a}}_{z}.

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