Dado um cilindro oco de raio interno \mathrm{a}=2 \mathrm{~cm} e raio externo \mathrm{b}=3 \mathrm{~cm}, que possui comprimento \mathrm{L}=5 \mathrm{~m} e sua resistividade \beta=1,72 \times 10^{-8} \Omega \mathrm{~m}.
a) Mostre que a resistência é algebricamente dado por \mathrm{R}=\beta^{*} \ln (\mathrm{~b} / \mathrm{a}) /\left(2^{*} \pi^{*} \mathrm{~L}\right) para um escoamento de corrente radial?
b) Para uma corrente de \mathrm{I}=1,5 \mathrm{~A} qual a diferença de potencial

Passo 1

Entender o que a questão pede e listar os dados fornecidos.\n
Dados fornecidos:
a=2\\ \mathrm{cm}=0,02\\ \mathrm{m}
b=3\\ \mathrm{cm}=0,03\\ \mathrm{m}
L=5\\ \mathrm{m}
\beta=1{,}72\times 10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}
I=1{,}5\\ \mathrm{A}\quad\text{(apenas para a parte (b))}
Perguntas do enunciado:
  1. (a) Mostrar que a resistência para escoamento de corrente radial no cilindro oco é
R=\frac{\beta}{2\pi L}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right).
  1. (b) Para I=1{,}5\\ \mathrm{A}, calcular a diferença de potencial entre as superfícies interna e externa.

Passo 2

Modelo físico e hipóteses — o que vamos usar e por quê.\n
Explicação didática: a resistividade \beta relaciona o campo elétrico ao fluxo de corrente no material; para um trecho de material com comprimento efetivo dl percorrido pela corrente e área de seção transversal A pela qual a corrente passa, a resistência diferencial é dada pela fórmula básica:
dR=\frac{\beta\,dl}{A}.
Aqui cada símbolo significa:
  • \beta: resistividade do material (unidade \Omega\cdot\mathrm{m});
  • dl: comprimento do caminho que a corrente percorre na direção do fluxo (unidade \mathrm{m});
  • A: área perpendicular ao fluxo pela qual a corrente passa (unidade \mathrm{m}^2);
  • dR: resistência do pequeno pedaço considerado (unidade \Omega).
No nosso caso a corrente flui radialmente, ou seja, do raio interno a para o raio externo b. Vamos considerar um anel cilíndrico de espessura radial dr a uma distância r do eixo; a corrente atravessa esse anel numa direção radial, e a área pela qual ela passa é a área lateral desse anel.

Passo 3

Determinar o comprimento diferencial dl e a área A apropriados.\n
  • O deslocamento radial é exatamente dr, então o comprimento do percurso elétrico nessa camada é dl=dr. Escrevendo em TeX:
dl=dr.
  • A área pela qual a corrente atravessa essa camada é a área lateral do cilindro de raio r e comprimento L, ou seja:
A = \text{(circunferência)}\times\text{(comprimento)} = 2\pi r \cdot L.ê
Portanto, para a camada em r temos
A=2\pi r L.

Passo 4

Escrever a resistência diferencial e montar a integral.\n
Substituindo dl e A em dR=\dfrac{\beta\,dl}{A} obtemos:
dR=\frac{\beta\,dr}{2\pi r L}.
Agora a resistência total entre as superfícies r=a e r=b é a integral de dR de a até b:
R=\int_{a}^{b} dR=\int_{a}^{b}\frac{\beta}{2\pi L}\,\frac{dr}{r}.

Passo 5

Calcular a integral e obter a expressão algébrica pedida.\n
A integral de \dfrac{1}{r} é o logaritmo natural. Assim
R=\frac{\beta}{2\pi L}\int_{a}^{b}\frac{dr}{r}=\frac{\beta}{2\pi L}\left[\ln r\right]_{a}^{b}=\frac{\beta}{2\pi L}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right).
Pronto — mostramos algebraicamente a fórmula pedida:
R=\frac{\beta}{2\pi L}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right).

Passo 6

Converter unidades e calcular numericamente R.\n
Primeiro os valores em metros (já listados no Passo 1):
a=0,02\\ \mathrm{m},\quad b=0,03\\ \mathrm{m},\quad L=5\\ \mathrm{m},\quad \beta=1{,}72\times 10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
Calcular o logaritmo:
\ln\!\left(\frac{b}{a}\right)=\ln\!\left(\frac{0,03}{0,02}\right)=\ln(1{,}5)\approx 0{,}405465.
Agora aplicar a fórmula
R=\frac{1{,}72\times 10^{-8}}{2\pi\cdot 5}\times 0{,}405465.
Calculemos passo a passo:
2\pi L=2\pi\cdot 5=10\pi\approx 31{,}4159265,
\beta\ln(b/a)=1{,}72\times 10^{-8}\times 0{,}405465\approx 6{,}974\times 10^{-9}.
Logo
R\approx\frac{6{,}974\times 10^{-9}}{31{,}4159265}\approx 2{,}22\times 10^{-10}\\ \Omega.

Passo 7

Calcular a diferença de potencial para I=1{,}5\\ \mathrm{A} usando a Lei de Ohm.\n
A Lei de Ohm (forma macroscópica) diz que a diferença de potencial V entre os terminais é
V=I\cdot R,
onde I é a corrente e R a resistência total. Substituindo os valores:
V=1{,}5\times 2{,}22\times 10^{-10}\\ \mathrm{V}\approx 3{,}33\times 10^{-10}\\ \mathrm{V}.
Comentário didático curto: o valor é muito pequeno porque a resistência radial do tubo metálico é extremamente baixa (material com baixa resistividade e geometria que oferece grande área lateral para o fluxo de corrente).

Resposta

R=\frac{\beta}{2\pi L}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right)
V=3{,}33\times 10^{-10}\\ \mathrm{V}

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