Dado um cilindro oco de raio interno
e raio externo
, que possui comprimento
e sua resistividade
.
a) Mostre que a resistência é algebricamente dado por
para um escoamento de corrente radial?
b) Para uma corrente de
qual a diferença de potencial
a) Mostre que a resistência é algebricamente dado por
b) Para uma corrente de
Passo 1
Entender o que a questão pede e listar os dados fornecidos.\n
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
Perguntas do enunciado:
- (a) Mostrar que a resistência para escoamento de corrente radial no cilindro oco é
- (b) Para
, calcular a diferença de potencial entre as superfícies interna e externa.
Passo 2
Modelo físico e hipóteses — o que vamos usar e por quê.\n
Explicação didática: a resistividade relaciona o campo elétrico ao fluxo de corrente no material; para um trecho de material com comprimento efetivo
percorrido pela corrente e área de seção transversal
pela qual a corrente passa, a resistência diferencial é dada pela fórmula básica:
Explicação didática: a resistividade
Aqui cada símbolo significa:
-
: resistividade do material (unidade ); -
: comprimento do caminho que a corrente percorre na direção do fluxo (unidade ); -
: área perpendicular ao fluxo pela qual a corrente passa (unidade ); -
: resistência do pequeno pedaço considerado (unidade ).
No nosso caso a corrente flui radialmente, ou seja, do raio interno
para o raio externo
. Vamos considerar um anel cilíndrico de espessura radial
a uma distância
do eixo; a corrente atravessa esse anel numa direção radial, e a área pela qual ela passa é a área lateral desse anel.
Passo 3
Determinar o comprimento diferencial
e a área
apropriados.\n
- O deslocamento radial é exatamente
, então o comprimento do percurso elétrico nessa camada é . Escrevendo em TeX:
- A área pela qual a corrente atravessa essa camada é a área lateral do cilindro de raio
e comprimento , ou seja:
Portanto, para a camada em
temos
Passo 4
Escrever a resistência diferencial e montar a integral.\n
Substituindo e
em
obtemos:
Substituindo
Agora a resistência total entre as superfícies
e
é a integral de
de
até
:
Passo 5
Calcular a integral e obter a expressão algébrica pedida.\n
A integral de é o logaritmo natural. Assim
A integral de
Pronto — mostramos algebraicamente a fórmula pedida:
Passo 6
Converter unidades e calcular numericamente
.\n
Primeiro os valores em metros (já listados no Passo 1):
Primeiro os valores em metros (já listados no Passo 1):
Calcular o logaritmo:
Agora aplicar a fórmula
Calculemos passo a passo:
Logo
Passo 7
Calcular a diferença de potencial para
usando a Lei de Ohm.\n
A Lei de Ohm (forma macroscópica) diz que a diferença de potencial entre os terminais é
A Lei de Ohm (forma macroscópica) diz que a diferença de potencial
onde
é a corrente e
a resistência total. Substituindo os valores:
Comentário didático curto: o valor é muito pequeno porque a resistência radial do tubo metálico é extremamente baixa (material com baixa resistividade e geometria que oferece grande área lateral para o fluxo de corrente).