( 4.0 pontos) Para um capacitor esférico assumindo que o raio interno do condutor seja de RI
, e a diferença de potencial entre os condutores interno e externo seja de
e a distância entre os condutores seja
.
i) Calcule a capacitância desse capacitor;
j) Calcule a carga
armazenada entre os condutores esféricos;
k) Calcule a energia
armazenada;
- Coloca-se um material dielétrico na região entre os condutores e a voltagem V diminui de 1/3. Qual a permissividade dielétrica do meio material.
i) Calcule a capacitância desse capacitor;
j) Calcule a carga
k) Calcule a energia
Passo 1
O enunciado dá um capacitor esférico com as seguintes informações (vou listar direitinho para a gente não se perder):
- raio interno do condutor:
. - diferença de potencial entre os condutores (antes do dielétrico):
. - distância entre os condutores:
.
As perguntas são:
i) Calcular a capacitância desse capacitor.
j) Calcular a carga armazenada entre os condutores esféricos.
k) Calcular a energia armazenada (antes de inserir dielétrico).
l) Ao colocar um dielétrico entre os condutores, a voltagem passa a ser um terço do valor original (ou seja, diminui para ). Qual é a permissividade dielétrica do material (isto é,
e o
)?
i) Calcular a capacitância desse capacitor.
j) Calcular a carga
k) Calcular a energia
l) Ao colocar um dielétrico entre os condutores, a voltagem passa a ser um terço do valor original (ou seja, diminui para
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando passo a passo, sem pressa):
- Campo elétrico fora de uma esfera carregada (para
entre as esferas): uma esfera carregada se comporta como carga pontual externa, então o campo em uma distância radial do centro é
onde
é a carga do condutor interno e
é a permissividade do vácuo (
).
Explicação rápida: isso vem da lei de Gauss para simetria esférica.
Explicação rápida: isso vem da lei de Gauss para simetria esférica.
- Diferença de potencial entre duas esferas concêntricas (integrando o campo): a diferença de potencial entre a superfície interna (raio
) e a externa (raio ) é
Explicação: potencial é integral negativa do campo, e aqui estamos integrando no sentido do condutor externo para o interno; o resultado prático é essa combinação
.
- Capacitância é definida por
. Usando a expressão acima obtemos a fórmula padrão do capacitor esférico (em vácuo):
onde colocamos
para o raio interno e
para o raio externo. Vou usar essa fórmula para calcular
.
Importante: se houver um dielétrico homogêneo entre as esferas com permissividade , basta substituir
por
na fórmula.
Importante: se houver um dielétrico homogêneo entre as esferas com permissividade
- Carga e energia armazenada:
Essas duas fórmulas vêm da física básica de capacitores (energia associada ao trabalho de carregar as placas).
Passo 3
Primeiro calculemos o raio externo
. Como a distância entre condutores é
e o raio interno é
,
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula da capacitância em vácuo:
Substituindo
,
,
e
:
Primeiro calculo
:
Calculo do numerador
:
Agora divido por
:
Arredondando com precisão adequada (duas ou três casas significativas razoáveis aqui):
Passo 5
Com a capacitância encontrada, a carga armazenada com a diferença de potencial dada é
Usando
e
:
Arredondando:
Passo 6
Energia elétrica armazenada no capacitor (antes do dielétrico):
Substituindo:
Como
,
Arredondando:
Passo 7
Agora a parte do dielétrico. O enunciado diz que, ao inserir o material entre os condutores, a voltagem passa a ser um terço do valor original (ou seja,
). Importante: ao inserir o dielétrico o capacitor permanece isolado (pressuposto típico) — então a carga
do capacitor não muda instantaneamente. Isso é crucial. Vou explicar o raciocínio:
- Antes do dielétrico:
, onde é a capacitância em vácuo (calculada acima). - Depois do dielétrico, com mesma carga
: . - Se
, então
Ou seja, a capacitância aumentou por um fator 3.
Como a capacitância com dielétrico homogêneo é
e a mesma expressão com vácuo é
, a razão é simplesmente
. Portanto
Aqui temos
. Logo a permissividade absoluta do meio é
Arredondando:
Resposta
i)
.
j) .
k) .
l) e
.
j)
k)
l)