( 4.0 pontos) Para um capacitor esférico assumindo que o raio interno do condutor seja de RI =0.24 \mathrm{~m}, e a diferença de potencial entre os condutores interno e externo seja de \mathrm{V}=10 \mathrm{KV} e a distância entre os condutores seja \mathrm{d}=0.05 \mathrm{~m}.
i) Calcule a capacitância desse capacitor;
j) Calcule a carga Q armazenada entre os condutores esféricos;
k) Calcule a energia U e armazenada;
  1. Coloca-se um material dielétrico na região entre os condutores e a voltagem V diminui de 1/3. Qual a permissividade dielétrica do meio material.

Passo 1

O enunciado dá um capacitor esférico com as seguintes informações (vou listar direitinho para a gente não se perder):
  • raio interno do condutor: \,R_I=0,24\\ \mathrm{m}.
  • diferença de potencial entre os condutores (antes do dielétrico): \,V=10\\ \mathrm{kV}=10{,}000\\ \mathrm{V}.
  • distância entre os condutores: \,d=0,05\\ \mathrm{m}.
As perguntas são:
i) Calcular a capacitância desse capacitor.
j) Calcular a carga Q armazenada entre os condutores esféricos.
k) Calcular a energia U_e armazenada (antes de inserir dielétrico).
l) Ao colocar um dielétrico entre os condutores, a voltagem passa a ser um terço do valor original (ou seja, diminui para \,V/3). Qual é a permissividade dielétrica do material (isto é, \varepsilon e o \varepsilon_r)?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando passo a passo, sem pressa):
  1. Campo elétrico fora de uma esfera carregada (para r entre as esferas): uma esfera carregada se comporta como carga pontual externa, então o campo em uma distância radial r do centro é
E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}},
onde \,Q é a carga do condutor interno e \,\varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_0\approx8{,}85418782\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}).
Explicação rápida: isso vem da lei de Gauss para simetria esférica.
  1. Diferença de potencial entre duas esferas concêntricas (integrando o campo): a diferença de potencial entre a superfície interna (raio a) e a externa (raio b) é
V=\int_{b}^{a} E(r)\,dr=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right).
Explicação: potencial é integral negativa do campo, e aqui estamos integrando no sentido do condutor externo para o interno; o resultado prático é essa combinação (1/a-1/b).
  1. Capacitância é definida por C=Q/V. Usando a expressão acima obtemos a fórmula padrão do capacitor esférico (em vácuo):
C=\frac{Q}{V}=4\pi\varepsilon_0\frac{ab}{b-a},
onde colocamos a para o raio interno e b para o raio externo. Vou usar essa fórmula para calcular C.
Importante: se houver um dielétrico homogêneo entre as esferas com permissividade \varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0, basta substituir \varepsilon_0 por \varepsilon na fórmula.
  1. Carga e energia armazenada:
Q = C\,V,
U_e=\frac{1}{2}CV^{2}.
Essas duas fórmulas vêm da física básica de capacitores (energia associada ao trabalho de carregar as placas).

Passo 3

Primeiro calculemos o raio externo b. Como a distância entre condutores é d e o raio interno é a=R_I,
a=R_I=0,24\\ \mathrm{m},
b=a+d=0,24+0,05=0,29\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da capacitância em vácuo:
C=4\pi\varepsilon_0\frac{ab}{b-a}.
Substituindo a=0,24\\ \mathrm{m}, b=0,29\\ \mathrm{m}, b-a=0,05\\ \mathrm{m} e \varepsilon_0=8{,}85418782\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}:
Primeiro calculo ab:
ab=0,24\times0,29=0,0696\\ \mathrm{m^{2}}.
Calculo do numerador 4\pi\varepsilon_0 ab:
4\pi\varepsilon_0 = 4\pi\times8{,}85418782\times10^{-12}\approx1{,}11265006\times10^{-10}\\ \mathrm{F/m},
4\pi\varepsilon_0\,ab \approx 1{,}11265006\times10^{-10}\times0,0696 \approx 7{,}7437\times10^{-12}\\ \mathrm{F\cdot m}.
Agora divido por b-a=0,05\\ \mathrm{m}:
C=\frac{7{,}7437\times10^{-12}}{0,05}\approx1{,}54874\times10^{-10}\\ \mathrm{F}.
Arredondando com precisão adequada (duas ou três casas significativas razoáveis aqui):
C\approx1{,}55\times10^{-10}\\ \mathrm{F}=155\\ \mathrm{pF}.

Passo 5

Com a capacitância encontrada, a carga armazenada com a diferença de potencial dada é
Q=C\,V.
Usando C\approx1{,}54874\times10^{-10}\\ \mathrm{F} e V=10{,}000\\ \mathrm{V}:
Q\approx1{,}54874\times10^{-10}\times10{,}000=1{,}54874\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
Arredondando:
Q\approx1{,}55\times10^{-6}\\ \mathrm{C}=1{,}55\\ \mu\mathrm{C}.

Passo 6

Energia elétrica armazenada no capacitor (antes do dielétrico):
U_e=\frac{1}{2}C V^{2}.
Substituindo:
U_e=\frac{1}{2}\times1{,}54874\times10^{-10}\times(10{,}000)^{2}.
Como (10{,}000)^{2}=10^{8},
U_e=\frac{1}{2}\times1{,}54874\times10^{-10}\times10^{8}=\frac{1}{2}\times0{,}0154874=0{,}0077437\\ \mathrm{J}.
Arredondando:
U_e\approx7{,}74\times10^{-3}\\ \mathrm{J}=7{,}74\\ \mathrm{mJ}.

Passo 7

Agora a parte do dielétrico. O enunciado diz que, ao inserir o material entre os condutores, a voltagem passa a ser um terço do valor original (ou seja, \,V_{\text{novo}}=V/3). Importante: ao inserir o dielétrico o capacitor permanece isolado (pressuposto típico) — então a carga Q do capacitor não muda instantaneamente. Isso é crucial. Vou explicar o raciocínio:
  • Antes do dielétrico: V=\dfrac{Q}{C_0}, onde C_0 é a capacitância em vácuo (calculada acima).
  • Depois do dielétrico, com mesma carga Q: V_{\text{novo}}=\dfrac{Q}{C_{\text{novo}}}.
  • Se V_{\text{novo}}=V/3, então
\frac{Q}{C_{\text{novo}}}=\frac{1}{3}\frac{Q}{C_0}\quad\Rightarrow\quad C_{\text{novo}}=3\,C_0.
Ou seja, a capacitância aumentou por um fator 3.
Como a capacitância com dielétrico homogêneo é C_{\text{novo}}=4\pi\varepsilon\frac{ab}{b-a} e a mesma expressão com vácuo é C_0=4\pi\varepsilon_0\frac{ab}{b-a}, a razão é simplesmente \varepsilon/\varepsilon_0. Portanto
\frac{C_{\text{novo}}}{C_0}=\frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}=\varepsilon_r.
Aqui temos \varepsilon_r=3. Logo a permissividade absoluta do meio é
\varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0=3\times8{,}85418782\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}\approx2{,}65625635\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}.
Arredondando:
\varepsilon_r=3,\qquad \varepsilon\approx2{,}66\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}.

Resposta

i) C\approx1{,}55\times10^{-10}\\ \mathrm{F}.
j) Q\approx1{,}55\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
k) U_e\approx7{,}74\times10^{-3}\\ \mathrm{J}.
l) \varepsilon_r=3 e \varepsilon\approx2{,}66\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}.

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