Para uma bobina com 12 espiras e raio R=5 \mathrm{~cm} e percorrida por uma corrente I=3,5 \mathrm{~A}. Determine:
a) O campo magnético B em \mathrm{x}=0;
b) O campo magnético B em \mathrm{x}=5 \mathrm{~m};
c) O momento magnético \mu da bobina;
d) Inclina-se a bobina até fazer um ângulo \theta=45^{\circ} \mathrm{em} relação ao campo magnético, determine a energia potencial nas condições do item a).

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas para uma bobina circular com N=12 espiras, raio R=5\\ \mathrm{cm} e corrente I=3{,}5\\ \mathrm{A}:
  • (a) o campo magnético \,B no ponto sobre o eixo da bobina em \,x=0 (centro da bobina);
  • (b) o campo magnético \,B no ponto sobre o eixo em \,x=5\\ \mathrm{m};
  • (c) o momento magnético \,\mu da bobina;
  • (d) se a bobina é inclinada até formar \theta=45^\circ em relação ao campo magnético, a energia potencial quando o campo é o do item (a).
Informações numéricas fornecidas (já colocadas em notação correta):
N=12,\qquad R=5\\ \mathrm{cm}=0{,}05\\ \mathrm{m},\qquad I=3{,}5\\ \mathrm{A},\qquad \theta=45^\circ.
Constante física que vamos usar:
\mu_0=4\pi\times 10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}.

Passo 2

Formula que dá o campo magnético no eixo de uma espira circular com raio R, corrente I e número de espiras N, a uma distância x do centro (no eixo):
B(x)=\frac{\mu_0\,N\,I\,R^2}{2\left(R^2+x^2\right)^{3/2}}.
Explicação da fórmula (passo a passo e significado das variáveis):
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo; número fixo usado em magnetismo.
  • N é o número de espiras: cada espira contribui igualmente, por isso aparece multiplicando.
  • I é a corrente que circula nas espiras.
  • R é o raio das espiras (a área efetiva aparece através de R^2).
  • x é a distância do centro da bobina ao ponto onde se quer o campo, medida ao longo do eixo perpendicular ao plano da espira.
    Observação útil: no centro ( x=0) a fórmula simplifica bastante, e para x\gg R podemos aproximar \left(R^2+x^2\right)^{3/2}\approx x^3 (regime dipolar).

Passo 3

Primeiro simplificamos a fórmula para x=0:
B(0)=\frac{\mu_0\,N\,I\,R^2}{2\left(R^2\right)^{3/2}}=\frac{\mu_0\,N\,I}{2R}.
Agora substituímos os valores numéricos. Usei \mu_0=4\pi\times 10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}, N=12, I=3{,}5\\ \mathrm{A}, R=0{,}05\\ \mathrm{m}:
B(0)=\frac{(4\pi\times 10^{-7})\times 12 \times 3{,}5}{2\times 0{,}05}.
Calculemos passo a passo:
4\pi\times 10^{-7}\approx 1{,}25663706\times 10^{-6}.
1{,}25663706\times 10^{-6}\times 12\times 3{,}5 = 5{,}277875652\times 10^{-5}.
Dividindo por 2R=0{,}1:
B(0)=\frac{5{,}277875652\times 10^{-5}}{0{,}1}=5{,}277875652\times 10^{-4}\\ \mathrm{T}.
Arredondando razoavelmente:
B(0)\approx 5{,}28\times 10^{-4}\\ \mathrm{T}.

Passo 4

Usamos a mesma fórmula geral:
B(x)=\frac{\mu_0\,N\,I\,R^2}{2\left(R^2+x^2\right)^{3/2}}.
Substituindo x=5\\ \mathrm{m} e os outros valores:
R^2=(0{,}05)^2=0{,}0025\\ \mathrm{m}^2,\qquad x^2=(5)^2=25\\ \mathrm{m}^2,
R^2+x^2=25{,}0025,\qquad (R^2+x^2)^{3/2}=(25{,}0025)^{3/2}\approx 125{,}018750625.
O numerador já calculado anteriormente com R^2 é:
\mu_0\,N\,I\,R^2 = (4\pi\times 10^{-7})\times 12\times 3{,}5\times 0{,}0025 \approx 1{,}319468913\times 10^{-7}.
Agora:
B(5\\ \mathrm{m})=\frac{1{,}319468913\times 10^{-7}}{2\times 125{,}018750625}\approx \frac{1{,}319468913\times 10^{-7}}{250{,}03750125}.
Fazendo a divisão:
B(5\\ \mathrm{m})\approx 5{,}2779\times 10^{-10}\\ \mathrm{T}.
Observação física e atenciosa: o valor é extremamente pequeno porque 5\\ \mathrm{m} é muito maior que o raio 0{,}05\\ \mathrm{m} — fora da bobina o campo decai muito rápido (como 1/x^3 no regime distante).

Passo 5

Definição e fórmula:
  • O momento magnético (também chamado dipolo magnético) de uma bobina de N espiras é
\mu=N\,I\,A,
onde A é a área de uma espira.
  • Para uma espira circular, A=\pi R^2.
Substituindo:
\mu = N I \pi R^2.
Valores:
\pi R^2=\pi\times (0{,}05)^2=\pi\times 0{,}0025\approx 0{,}0078539816\\ \mathrm{m}^2.
N I = 12\times 3{,}5 = 42.
Portanto
\mu = 42 \times 0{,}0078539816 \approx 0{,}3298672272\\ \mathrm{A\cdot m^2}.
Arredondando:
\mu \approx 0{,}3299\\ \mathrm{A\cdot m^2}.

Passo 6

Fórmula da energia potencial magnética de um dipolo magnético \mu em um campo B:
U = -\boldsymbol{\mu}\cdot \boldsymbol{B} = -\mu\,B\,\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre o vetor momento magnético \boldsymbol{\mu} e o campo \boldsymbol{B}. O sinal negativo significa que a configuração de menor energia é quando \mu está alinhado com B.
Aqui devemos usar B(0) calculado no item (a) e \mu do item (c), com \theta=45^\circ e \cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}70710678.
Substituindo valores:
U = -\mu\,B(0)\,\cos 45^\circ = -0{,}3298672272\times 5{,}277875652\times 10^{-4}\times 0{,}70710678.
Já que os números são pequenos, podemos usar o produto calculado de forma agrupada. Fiz as contas e obtive
U \approx -1{,}231144\times 10^{-4}\\ \mathrm{J}.
Arredondando razoavelmente:
U \approx -1{,}23\times 10^{-4}\\ \mathrm{J}.

Resposta

a) B(0)\approx 5{,}28\times 10^{-4}\\ \mathrm{T}
b) B(5\\ \mathrm{m})\approx 5{,}28\times 10^{-10}\\ \mathrm{T}
c) \mu\approx 0{,}3299\\ \mathrm{A\cdot m^{2}}
d) U\approx -1{,}23\times 10^{-4}\\ \mathrm{J}

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