Dado um conjunto
não vazio, seja
e
. Verifique se a coleção
é um subgrupo de
.
Passo 1
O enunciado dá:
- Um conjunto não vazio
. - Um subconjunto
. - A coleção
.
O que pede: verificar se
é um subgrupo do grupo
, onde
é a diferença simétrica entre conjuntos.
Passo 2
Primeiro, lembrar o que é diferença simétrica e algumas propriedades básicas (mini-aula):
- Para dois conjuntos
define-se
- Propriedades importantes que vamos usar sem provar em detalhe: a operação
é comutativa e associativa; o elemento neutro é o conjunto vazio ; todo elemento é seu próprio inverso, pois
para todo
. Assim,
é um grupo abeliano de expoente
.
Passo 3
Identificar explicitamente os elementos de
. Vou mostrar que
(isto simplifica bastante a tarefa).
- Se
, então existe tal que . Daí , logo . Assim . - Para a inclusão inversa, tome qualquer
(ou seja, ). Considere o conjunto
Então
(logo
) e
Portanto
. Logo
.
Conclusão deste passo:
Passo 4
Agora provar que
é subgrupo de
. Vou checar os itens do critério de subgrupo (de forma bem direta e pedagógica):
-
Não-vazio / contém o neutro:
, logo . Portanto o neutro do grupo está em . -
Fechamento sob
: tome , ou seja e . Se então , portanto . Assim cada elemento de pertence a , ou seja . Logo . Portanto é fechado para . -
Inversos: para qualquer
tem-se , então o inverso de é próprio e está em .
Como
é abeliano e de expoente
, basta mostrar que
é não-vazio e fechado sob
para garantir que é subgrupo; acima verificamos também explicitamente o inverso.
Passo 5
Resumo do raciocínio prático e intuitivo: cada elemento de
é um subconjunto de
, e todo subconjunto de
aparece como interseção
para algum
. Assim
. Como o conjunto das partes de
é fechado sob diferença simétrica, contém o neutro e contém inversos, ele é um subgrupo de
.
Resposta
Sim.
é um subgrupo de
; de fato
, e
é fechado sob
, contém
e contém inversos.