Dado um conjunto A não vazio, seja B \subseteq A e \mathcal{S}=B \cap \mathcal{P}(A)= \{B \cap X ; X \in \mathcal{P}(A)\}. Verifique se a coleção \mathcal{S} é um subgrupo de (\mathcal{P}(A), \Delta).

Passo 1

O enunciado dá:
  • Um conjunto não vazio A.
  • Um subconjunto B \subseteq A.
  • A coleção \mathcal{S}=B \cap \mathcal{P}(A)=\{B \cap X \;|\; X\in\mathcal{P}(A)\}.
O que pede: verificar se \mathcal{S} é um subgrupo do grupo (\mathcal{P}(A),\Delta), onde \Delta é a diferença simétrica entre conjuntos.

Passo 2

Primeiro, lembrar o que é diferença simétrica e algumas propriedades básicas (mini-aula):
  • Para dois conjuntos X,Y define-se
X \Delta Y = (X\setminus Y)\cup (Y\setminus X).
  • Propriedades importantes que vamos usar sem provar em detalhe: a operação \Delta é comutativa e associativa; o elemento neutro é o conjunto vazio \varnothing; todo elemento é seu próprio inverso, pois
X \Delta X = \varnothing
para todo X. Assim, (\mathcal{P}(A),\Delta) é um grupo abeliano de expoente 2.

Passo 3

Identificar explicitamente os elementos de \mathcal{S}. Vou mostrar que \mathcal{S}=\mathcal{P}(B) (isto simplifica bastante a tarefa).
  • Se Y\in\mathcal{S}, então existe X\subseteq A tal que Y=B\cap X. Daí Y\subseteq B, logo Y\in\mathcal{P}(B). Assim \mathcal{S}\subseteq\mathcal{P}(B).
  • Para a inclusão inversa, tome qualquer Y\in\mathcal{P}(B) (ou seja, Y\subseteq B). Considere o conjunto
X := Y \cup (A\setminus B).
Então X\subseteq A (logo X\in\mathcal{P}(A)) e
B\cap X = B\cap\bigl(Y\cup (A\setminus B)\bigr) = (B\cap Y)\cup (B\cap(A\setminus B)) = Y\cup\varnothing = Y.
Portanto Y\in\mathcal{S}. Logo \mathcal{P}(B)\subseteq\mathcal{S}.
Conclusão deste passo:
\mathcal{S}=\mathcal{P}(B).

Passo 4

Agora provar que \mathcal{P}(B) é subgrupo de (\mathcal{P}(A),\Delta). Vou checar os itens do critério de subgrupo (de forma bem direta e pedagógica):
  1. Não-vazio / contém o neutro: \varnothing\subseteq B, logo \varnothing\in\mathcal{P}(B). Portanto o neutro do grupo está em \mathcal{P}(B).
  2. Fechamento sob \Delta: tome U,V\in\mathcal{P}(B), ou seja U\subseteq B e V\subseteq B. Se x\in U\Delta V então x\in U\cup V, portanto x\in B. Assim cada elemento de U\Delta V pertence a B, ou seja U\Delta V\subseteq B. Logo U\Delta V\in\mathcal{P}(B). Portanto \mathcal{P}(B) é fechado para \Delta.
  3. Inversos: para qualquer U\subseteq B tem-se U\Delta U=\varnothing, então o inverso de U é U próprio e está em \mathcal{P}(B).
Como (\mathcal{P}(A),\Delta) é abeliano e de expoente 2, basta mostrar que \mathcal{P}(B) é não-vazio e fechado sob \Delta para garantir que é subgrupo; acima verificamos também explicitamente o inverso.

Passo 5

Resumo do raciocínio prático e intuitivo: cada elemento de \mathcal{S} é um subconjunto de B, e todo subconjunto de B aparece como interseção B\cap X para algum X\subseteq A. Assim \mathcal{S}=\mathcal{P}(B). Como o conjunto das partes de B é fechado sob diferença simétrica, contém o neutro e contém inversos, ele é um subgrupo de (\mathcal{P}(A),\Delta).

Resposta

Sim. \mathcal{S} é um subgrupo de (\mathcal{P}(A),\Delta); de fato \mathcal{S}=\mathcal{P}(B), e \mathcal{P}(B) é fechado sob \Delta, contém \varnothing e contém inversos.

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