Pode-se mostrar que o conjunto G=\mathbb{R} \times \mathbb{R}-\{(0,0)\} munido da operação * dada como:
(x, y) *(z, t)=(x z-y t, x t+y z)
é um grupo.
(a) Calcule o elemento simétrico de ( 3,4 ) em ( G, * );
(b) Calcule o elemento simétrico de (x, y).
(c) Mostre que ( 1,0 ) é o elemento neutro do ( G, * );

Passo 1

O enunciado fornece o conjunto G=\mathbb{R}\times\mathbb{R}-\{(0,0)\} e a operação binary (*) definida por
(x,y)*(z,t)=(x z - y t,\; x t + y z).
As perguntas são:
(a) Calcular o elemento simétrico (inverso) de (3,4) em (G,*).
(b) Calcular o elemento simétrico (inverso) de um elemento genérico (x,y) de G.
(c) Mostrar que (1,0) é o elemento neutro de (G,*).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A operação *) combina dois pares (x,y) e (z,t) e retorna o par (x z - y t,\; x t + y z).
  • O conjunto G exclui o par (0,0), portanto para qualquer (x,y)\in G vale (x,y)\neq(0,0).)

Passo 2

Entender o que significa “elemento simétrico” (inverso) e “elemento neutro” no contexto fornecido.
  • Elemento neutro: um elemento e\in G tal que, para todo (x,y)\in G,
e*(x,y)=(x,y)\quad\text{e}\quad (x,y)*e=(x,y).
No enunciado pedem para verificar que e=(1,0) satisfaz isso.
  • Elemento simétrico (inverso) de um elemento (x,y)\in G: é um elemento (u,v)\in G tal que
(x,y)*(u,v)=(1,0)\quad\text{e}\quad (u,v)*(x,y)=(1,0).
Aqui (1,0) é o elemento neutro esperado; estamos buscando (u,v) que “cancela” (x,y) pela operação *).
Vou mostrar passo a passo como encontrar (u,v) resolvendo as equações que definem o inverso.

Passo 3

Verificação direta de que (1,0) é elemento neutro (parte (c)).
Calcular (1,0)*(x,y) usando a definição da operação:
(1,0)*(x,y) = (1\cdot x - 0\cdot y,\; 1\cdot y + 0\cdot x) = (x,y).
Calcular (x,y)*(1,0):
(x,y)*(1,0) = (x\cdot 1 - y\cdot 0,\; x\cdot 0 + y\cdot 1) = (x,y).
Como ambas as multiplicações dão (x,y), concluímos que (1,0) satisfaz a definição de elemento neutro para a operação *). Portanto (1,0) é o elemento neutro de (G,*).

Passo 4

Determinar o inverso geral de (x,y)\) (parte (b)). Vou montar as equações que definem o inverso \((u,v)\) resolvendo \[(x,y)*(u,v)=(1,0).
Pela definição da operação isso equivale ao sistema de duas equações:
\begin{cases} x u - y v = 1,\\[4pt] x v + y u = 0. \end{cases}
Esse é um sistema linear de duas equações nas incógnitas u\] e \(v. Escrevendo em forma matricial:
\begin{pmatrix} x & -y \\[4pt] y & x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\[4pt] v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\[4pt] 0 \end{pmatrix}.
A matriz dos coeficientes é A=\begin{pmatrix} x & -y \\\ y & x \end{pmatrix}. O determinante de A é
\det(A)=x\cdot x-(-y)\cdot y = x^{2}+y^{2}.
Como (x,y)\in G e G exclui (0,0), tem-se x^{2}+y^{2}\neq 0. Logo a matriz é invertível e existe solução única. A inversa da matriz A é
A^{-1}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}} \begin{pmatrix} x & y \\[4pt] -y & x \end{pmatrix}.
Multiplicando pelos termos do lado direito obtemos
\begin{pmatrix} u \\[4pt] v \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} 1 \\[4pt] 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{x^{2}+y^{2}} \begin{pmatrix} x \\[4pt] -y \end{pmatrix}.
Portanto
u=\frac{x}{x^{2}+y^{2}},\qquad v=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}.
Isso nos dá explicitamente o inverso de (x,y) em G:
(x,y)^{-1}=\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}},\; -\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right).
(Verificação opcional: substituindo na definição da operação recupera-se (1,0); isto confirma que a solução está correta.)]

Passo 5

Aplicar o resultado geral ao caso concreto (3,4) (parte (a)).
Aqui x=3 e y=4. Calcular x^{2}+y^{2}:
3^{2}+4^{2}=9+16=25.
Usando a fórmula do inverso:
(3,4)^{-1}=\left(\frac{3}{25},\; -\frac{4}{25}\right).
Fazer uma checagem rápida multiplicando (3,4) por \left(\dfrac{3}{25},-\dfrac{4}{25}\right):
(3,4)*\left(\frac{3}{25},-\frac{4}{25}\right) = \left(3\cdot\frac{3}{25} - 4\cdot\left(-\frac{4}{25}\right),\; 3\cdot\left(-\frac{4}{25}\right)+4\cdot\frac{3}{25}\right).
Calcular componentes:
\text{componente 1}=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=\frac{25}{25}=1,
\text{componente 2}=-\frac{12}{25}+\frac{12}{25}=0.
Portanto o produto é (1,0), como desejado.

Resposta

(a) \left(\dfrac{3}{25},-\dfrac{4}{25}\right)
(b) \left(\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}},-\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}\right)
(c) (1,0)

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