Pode-se mostrar que o conjunto
munido da operação * dada como:
é um grupo.
(a) Calcule o elemento simétrico de ( 3,4 ) em (
);
(b) Calcule o elemento simétrico de
.
(c) Mostre que ( 1,0 ) é o elemento neutro do (
);
(a) Calcule o elemento simétrico de ( 3,4 ) em (
(b) Calcule o elemento simétrico de
(c) Mostre que ( 1,0 ) é o elemento neutro do (
Passo 1
O enunciado fornece o conjunto
e a operação binary (*) definida por
As perguntas são:
(a) Calcular o elemento simétrico (inverso) de em
.
(b) Calcular o elemento simétrico (inverso) de um elemento genérico de
.
(c) Mostrar que é o elemento neutro de
.
(a) Calcular o elemento simétrico (inverso) de
(b) Calcular o elemento simétrico (inverso) de um elemento genérico
(c) Mostrar que
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A operação
combina dois pares e e retorna o par . - O conjunto
exclui o par , portanto para qualquer vale .)
Passo 2
Entender o que significa “elemento simétrico” (inverso) e “elemento neutro” no contexto fornecido.
- Elemento neutro: um elemento
tal que, para todo ,
No enunciado pedem para verificar que
satisfaz isso.
- Elemento simétrico (inverso) de um elemento
: é um elemento tal que
Aqui
é o elemento neutro esperado; estamos buscando
que “cancela”
pela operação
.
Vou mostrar passo a passo como encontrar
resolvendo as equações que definem o inverso.
Passo 3
Verificação direta de que
é elemento neutro (parte (c)).
Calcular
usando a definição da operação:
Calcular
:
Como ambas as multiplicações dão
, concluímos que
satisfaz a definição de elemento neutro para a operação
. Portanto
é o elemento neutro de
.
Passo 4
Determinar o inverso geral de
Pela definição da operação isso equivale ao sistema de duas equações:
Esse é um sistema linear de duas equações nas incógnitas
. Escrevendo em forma matricial:
A matriz dos coeficientes é
. O determinante de
é
Como
e
exclui
, tem-se
. Logo a matriz é invertível e existe solução única. A inversa da matriz
é
Multiplicando pelos termos do lado direito obtemos
Portanto
Isso nos dá explicitamente o inverso de
em
:
(Verificação opcional: substituindo na definição da operação recupera-se
; isto confirma que a solução está correta.)]
Passo 5
Aplicar o resultado geral ao caso concreto
(parte (a)).
Aqui
e
. Calcular
:
Usando a fórmula do inverso:
Fazer uma checagem rápida multiplicando
por
:
Calcular componentes:
Portanto o produto é
, como desejado.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)