Seja
um conjunto não vazio.
defina a operação
como:
é chamada de diferença simétrica entre
e
. Mostre que (
) é um grupo abeliano.
Passo 1
O enunciado dá que
é um conjunto não vazio e que em
(o conjunto de todas as partes de
) define-se a operação
por
A tarefa é mostrar que
é um grupo abeliano.
Para deixar claro o que devo provar, listo as propriedades de grupo que preciso verificar:
- (Fechamento) Para todo
, . - (Associatividade) Para todo
, . - (Elemento identidade) Existe
tal que, para todo , . - (Inversos) Para todo
existe com . - (Comutatividade) Para todo
, . (Isto tornará o grupo abeliano.)
Nos passos seguintes vou provar cada item detalhadamente, com explicações elementares e exemplos quando ajudar.
Passo 2
Fechamento. Quero mostrar que, se
, então
.
Explicação e prova: por definição
e
são partes de
, ou seja são subconjuntos de
. A diferença de conjuntos
é também um subconjunto de
. Logo
, isto é
. Portanto a operação está bem definida em
e é fechada.
Exemplo rápido para visualizar: tome
,
,
. Então
, que é de fato subconjunto de
.
Passo 3
Caracterização por pertinência (intuição do “ou exclusivo”). Vou mostrar uma descrição útil:
se, e só se, exatamente um dos acontecimentos
ou
ocorre (ou seja,
pertence a
ou a
mas não a ambos).
Prova dessa equivalência: por definição
. Assim
o que é precisamente a afirmação "
e
, ou
e
". Essa operação lógica é o famoso XOR (ou exclusivo): a pertença ocorre quando o número de conjuntos entre
que contêm
é ímpar (igual a 1).
Essa visão por “paridade de pertinência” será usada para associatividade e inversos.
Passo 4
Associatividade. Quero provar que, para todo
,
Estratégia: vou fazer prova elemento a elemento usando a caracterização por pertinência / paridade. Seja
fixo. Vou verificar que
pertence ao lado esquerdo se, e só se, pertence ao lado direito.
-
Pelo Passo 3,
significa que pertence a exatamente um dos conjuntos . Logo significa que, entre os dois conjuntos e , pertence a exatamente um. Em termos de contagem: o número de conjuntos entre que contêm é ímpar? Vamos fazer isso explícito. -
Contagem explícita: defina
como o número de conjuntos entre que contêm . Então: -
ocorre quando está em exatamente um de ; isso corresponde a sendo ou dependendo de , mas o importante é que a operação entre dois conjuntos corresponde a somar (mod ) as pertenças. Mais diretamente: -
acontece quando a paridade da pertinência em e em é diferente, isto é quando difere de . Aqui é o indicadora que vale se e caso contrário. - A expressão anterior é equivalente a pedir que
, ou seja, que seja ímpar.
-
-
O mesmo raciocínio aplicado ao lado direito dá que
também equivale a .
Logo para cada
temos
Portanto os dois conjuntos são iguais, provando a associatividade.
Comentário didático curto: outra maneira de ver isso é pensar que cada conjunto
corresponde à sua função indicadora
e
corresponde à soma ponto a ponto módulo
. A soma módulo
é associativa, daí a associatividade de
.
Passo 5
Elemento identidade. Preciso encontrar
tal que, para todo
,
.
Teste natural: testar
(conjunto vazio). Verifico:
Também pela caracterização por pertinência: para todo
,
sse
está em exatamente um de
e
, ou seja sse
. Logo
é identidade à direita e à esquerda. Assim o elemento identidade é
.
Observação: a identidade é única em qualquer estrutura de grupo, mas aqui explicitamos qual é.
Passo 6
Inversos. Para cada
quero um
tal que
(a identidade). Pela caracterização de
, se pegar
tenho
Ou via paridade: para todo
, o número de conjuntos entre
que contêm
é
ou
, sempre par, então
. Assim
é seu próprio inverso:
.
Portanto todo elemento tem inverso (ele mesmo). Isto também mostra que a ordem de qualquer elemento na estrutura é
(caso
) ou
(caso
), no sentido da operação
.
Passo 7
Comutatividade. Pela definição
A união e interseção são comutativas:
e
. Portanto a expressão é simétrica em
e
, e obtemos imediatamente
Se preferir a visão por pertinência: a condição "exatamente um de
ou
" é claramente simétrica, então pertencer a
é equivalente a pertencer a
.
Assim a operação é comutativa, logo o grupo é abeliano.
Passo 8
Conclusão e resumo das propriedades já provadas:
- Fechamento: vale porque diferença/união/interseção de subconjuntos de
é subconjunto de . - Associatividade: provada por argumento elementar de paridade (ou usando somas módulo
das funções indicadoras). - Identidade:
. - Inversos: o inverso de
é (auto-inverso). - Comutatividade: segue das propriedades comutativas de
e ou da simetria do XOR.
Portanto
satisfaz todos os axiomas de um grupo abeliano.
Resposta
Sim.
é um grupo abeliano.
Elemento identidade: .
Inverso de :
(ou seja,
).
Elemento identidade:
Inverso de