Seja A um conjunto não vazio. \operatorname{Em} \mathcal{P}(A) defina a operação \Delta como:
X \Delta Y=X \cup Y-(X \cap Y)
\Delta é chamada de diferença simétrica entre X e Y. Mostre que ( \mathcal{P}(A), \Delta ) é um grupo abeliano.

Passo 1

O enunciado dá que A é um conjunto não vazio e que em \mathcal{P}(A) (o conjunto de todas as partes de A) define-se a operação \Delta por
X\Delta Y = X\cup Y - (X\cap Y).
A tarefa é mostrar que (\mathcal{P}(A),\Delta) é um grupo abeliano.
Para deixar claro o que devo provar, listo as propriedades de grupo que preciso verificar:
  • (Fechamento) Para todo X,Y\in\mathcal{P}(A), X\Delta Y\in\mathcal{P}(A).
  • (Associatividade) Para todo X,Y,Z\in\mathcal{P}(A), (X\Delta Y)\Delta Z = X\Delta (Y\Delta Z).
  • (Elemento identidade) Existe e\in\mathcal{P}(A) tal que, para todo X, X\Delta e = X.
  • (Inversos) Para todo X\in\mathcal{P}(A) existe X^{-1}\in\mathcal{P}(A) com X\Delta X^{-1} = e.
  • (Comutatividade) Para todo X,Y, X\Delta Y = Y\Delta X. (Isto tornará o grupo abeliano.)
Nos passos seguintes vou provar cada item detalhadamente, com explicações elementares e exemplos quando ajudar.

Passo 2

Fechamento. Quero mostrar que, se X,Y\in\mathcal{P}(A), então X\Delta Y\in\mathcal{P}(A).
Explicação e prova: por definição X\cup Y e X\cap Y são partes de A, ou seja são subconjuntos de A. A diferença de conjuntos (X\cup Y)-(X\cap Y) é também um subconjunto de A. Logo X\Delta Y\subseteq A, isto é X\Delta Y\in\mathcal{P}(A). Portanto a operação está bem definida em \mathcal{P}(A) e é fechada.
Exemplo rápido para visualizar: tome A=\{1,2,3\}, X=\{1,2\}, Y=\{2,3\}. Então X\Delta Y=\{1,3\}, que é de fato subconjunto de A.

Passo 3

Caracterização por pertinência (intuição do “ou exclusivo”). Vou mostrar uma descrição útil: x\in X\Delta Y se, e só se, exatamente um dos acontecimentos x\in X ou x\in Y ocorre (ou seja, x pertence a X ou a Y mas não a ambos).
Prova dessa equivalência: por definição X\Delta Y=(X\setminus Y)\cup(Y\setminus X). Assim
x\in X\Delta Y \iff \bigl(x\in X\setminus Y\bigr)\\ \text{ou}\\ \bigl(x\in Y\setminus X\bigr),
o que é precisamente a afirmação " x\in X e x\notin Y, ou x\in Y e x\notin X ". Essa operação lógica é o famoso XOR (ou exclusivo): a pertença ocorre quando o número de conjuntos entre X,Y que contêm x é ímpar (igual a 1).
Essa visão por “paridade de pertinência” será usada para associatividade e inversos.

Passo 4

Associatividade. Quero provar que, para todo X,Y,Z\in\mathcal{P}(A),
(X\Delta Y)\Delta Z = X\Delta (Y\Delta Z).
Estratégia: vou fazer prova elemento a elemento usando a caracterização por pertinência / paridade. Seja x\in A fixo. Vou verificar que x pertence ao lado esquerdo se, e só se, pertence ao lado direito.
  • Pelo Passo 3, x\in X\Delta Y significa que x pertence a exatamente um dos conjuntos X,Y. Logo x\in (X\Delta Y)\Delta Z significa que, entre os dois conjuntos (X\Delta Y) e Z, x pertence a exatamente um. Em termos de contagem: o número de conjuntos entre X,Y,Z que contêm x é ímpar? Vamos fazer isso explícito.
  • Contagem explícita: defina n_x como o número de conjuntos entre \{X,Y,Z\} que contêm x. Então:
    • x\in X\Delta Y ocorre quando x está em exatamente um de X,Y; isso corresponde a n_x sendo 1 ou 2 dependendo de Z, mas o importante é que a operação \Delta entre dois conjuntos corresponde a somar (mod 2) as pertenças. Mais diretamente:
    • x\in (X\Delta Y)\Delta Z acontece quando a paridade da pertinência em (X\Delta Y) e em Z é diferente, isto é quando \bigl(\mathbf{1}_{X}(x)+\mathbf{1}_{Y}(x)\bigr)\bmod 2 difere de \mathbf{1}_{Z}(x). Aqui \mathbf{1}_{S}(x) é o indicadora que vale 1 se x\in S e 0 caso contrário.
    • A expressão anterior é equivalente a pedir que \bigl(\mathbf{1}_{X}(x)+\mathbf{1}_{Y}(x)+\mathbf{1}_{Z}(x)\bigr)\bmod 2 = 1, ou seja, que n_x seja ímpar.
  • O mesmo raciocínio aplicado ao lado direito dá que x\in X\Delta (Y\Delta Z) também equivale a \bigl(\mathbf{1}_{X}(x)+\mathbf{1}_{Y}(x)+\mathbf{1}_{Z}(x)\bigr)\bmod 2 = 1.
Logo para cada x\in A temos
x\in (X\Delta Y)\Delta Z \iff n_x\\ \text{é ímpar} \iff x\in X\Delta (Y\Delta Z).éí
Portanto os dois conjuntos são iguais, provando a associatividade.
Comentário didático curto: outra maneira de ver isso é pensar que cada conjunto S\subseteq A corresponde à sua função indicadora \mathbf{1}_S e \Delta corresponde à soma ponto a ponto módulo 2. A soma módulo 2 é associativa, daí a associatividade de \Delta.

Passo 5

Elemento identidade. Preciso encontrar e\in\mathcal{P}(A) tal que, para todo X, X\Delta e = X.
Teste natural: testar e=\varnothing (conjunto vazio). Verifico:
X\Delta\varnothing = (X\setminus\varnothing)\cup(\varnothing\setminus X) = X\cup\varnothing = X.
Também pela caracterização por pertinência: para todo x, x\in X\Delta\varnothing sse x está em exatamente um de X e \varnothing, ou seja sse x\in X. Logo \varnothing é identidade à direita e à esquerda. Assim o elemento identidade é e=\varnothing.
Observação: a identidade é única em qualquer estrutura de grupo, mas aqui explicitamos qual é.

Passo 6

Inversos. Para cada X\in\mathcal{P}(A) quero um Y tal que X\Delta Y = \varnothing (a identidade). Pela caracterização de \Delta, se pegar Y=X tenho
X\Delta X = (X\setminus X)\cup (X\setminus X) = \varnothing \cup \varnothing = \varnothing.
Ou via paridade: para todo x, o número de conjuntos entre X,X que contêm x é 0 ou 2, sempre par, então x\notin X\Delta X. Assim X é seu próprio inverso: X^{-1}=X.
Portanto todo elemento tem inverso (ele mesmo). Isto também mostra que a ordem de qualquer elemento na estrutura é 1 (caso X=\varnothing) ou 2 (caso X\neq\varnothing), no sentido da operação \Delta.

Passo 7

Comutatividade. Pela definição
X\Delta Y = X\cup Y - (X\cap Y).
A união e interseção são comutativas: X\cup Y = Y\cup X e X\cap Y = Y\cap X. Portanto a expressão é simétrica em X e Y, e obtemos imediatamente
X\Delta Y = Y\Delta X.
Se preferir a visão por pertinência: a condição "exatamente um de X ou Y" é claramente simétrica, então pertencer a X\Delta Y é equivalente a pertencer a Y\Delta X.
Assim a operação é comutativa, logo o grupo é abeliano.

Passo 8

Conclusão e resumo das propriedades já provadas:
  • Fechamento: vale porque diferença/união/interseção de subconjuntos de A é subconjunto de A.
  • Associatividade: provada por argumento elementar de paridade (ou usando somas módulo 2 das funções indicadoras).
  • Identidade: \varnothing.
  • Inversos: o inverso de X é X (auto-inverso).
  • Comutatividade: segue das propriedades comutativas de \cup e \cap ou da simetria do XOR.
Portanto (\mathcal{P}(A),\Delta) satisfaz todos os axiomas de um grupo abeliano.

Resposta

Sim. (\mathcal{P}(A),\Delta) é um grupo abeliano.
Elemento identidade: \varnothing.
Inverso de X: X^{-1}=X (ou seja, X\Delta X=\varnothing).

Exercícios relacionados