Seja J=\left\{\left(\begin{array}{cc}a & -b \\\ b & a\end{array}\right) ; a, b \in \mathbb{R}\right\}.
(a) Mostre que J é um subgrupo de G L(2);
(b) Calcule o elemento inverso de \left(\begin{array}{cc}3 & -4 \\\\ 4 & 3\end{array}\right) em (J, \cdot);
(c) Calcule o elemento inverso de \left(\begin{array}{cc}a & -b \\\ b & a\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
J=\left\{\begin{pmatrix}a & -b \\[4pt] b & a\end{pmatrix}\;;\; a,b\in\mathbb{R}\right\}
e pede três coisas:
(a) mostrar que J é um subgrupo de GL(2);
(b) calcular o inverso de \begin{pmatrix}3 & -4\\[4pt]4 & 3\end{pmatrix} em (J,\cdot);
(c) calcular o inverso geral de \begin{pmatrix}a & -b\\[4pt]b & a\end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas / observações iniciais:
  • GL(2) é o grupo das matrizes 2\times2 invertíveis com entradas reais, sob multiplicação; uma matriz é invertível exatamente quando seu determinante é diferente de zero.
  • Em particular, a matriz com a=b=0 pertence a J mas tem determinante zero (ou seja, é a matriz nula e NÃO pertence a GL(2)). Vou tratar essa delicadeza ao mostrar a propriedade de subgrupo.]

Passo 2

Definição e estratégia (aula rápida e prática):
  • Para mostrar que um subconjunto H de GL(2) é subgrupo, basta mostrar que H é não vazio, fechado para o produto (se X,Y\in H então XY\in H) e fechado para inverso (se X\in H então X^{-1}\in H). Outra forma equivalente é verificar que a identidade está em H, que H é fechado por produto e por inverso.
  • Também preciso lembrar o teste de invertibilidade: uma matriz M é invertível se e só se \det(M)\neq 0. Então, se J contém alguma matriz com determinante zero, essa matriz não está em GL(2), e portanto J como escrito não está contido em GL(2). Vou calcular o determinante geral e concluir o que é preciso.

Passo 3

Fechamento por multiplicação (mostrar que o produto de duas matrizes de J pertence a J):
Considere duas matrizes arbitrárias de J,
M_1=\begin{pmatrix}a_1 & -b_1\\[4pt] b_1 & a_1\end{pmatrix},\qquad M_2=\begin{pmatrix}a_2 & -b_2\\[4pt] b_2 & a_2\end{pmatrix}.
Calculamos o produto M_1M_2:
M_1M_2 = \begin{pmatrix} a_1a_2 - b_1b_2 & -\bigl(a_1b_2 + a_2b_1\bigr)\\[6pt] a_1b_2 + a_2b_1 & a_1a_2 - b_1b_2 \end{pmatrix}.
Observe que o produto tem a mesma estrutura \begin{pmatrix}a' & -b'\\[4pt] b' & a'\end{pmatrix} com
a' = a_1a_2 - b_1b_2,\qquad b' = a_1b_2 + a_2b_1.
Portanto M_1M_2\in J. Isso prova o fechamento por multiplicação.
Comentário didático curto: a fórmula acima é exatamente a regra da multiplicação de números complexos se identificarmos \begin{pmatrix}a & -b\\[4pt] b & a\end{pmatrix} com a+bi. Essa visão ajuda a memorizar as fórmulas.]

Passo 4

Determinante e condição de invertibilidade:
Calcule o determinante da matriz genérica de J:
\det\begin{pmatrix}a & -b\\[4pt] b & a\end{pmatrix} = a\cdot a - (-b)\cdot b = a^2 + b^2.
Como a^2+b^2\ge 0 sempre, e a^2+b^2=0 ocorre só se a=0 e b=0, conclui-se:
  • A matriz é invertível \iff a^2+b^2\neq 0.
  • A única matriz de J que NÃO é invertível é a matriz nula \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Dessa observação segue a correção conceitual: o conjunto J tal como foi escrito contém a matriz nula e, portanto, estritamente falando, NÃO está contido em GL(2). Assim, J não é um subgrupo de GL(2) se interpretarmos J incluindo a matriz nula. Entretanto, o subconjunto
J^\times := \left\{\begin{pmatrix}a & -b\\[4pt] b & a\end{pmatrix}\;;\; a^2+b^2\neq 0\right\} = J\cap GL(2)
é exatamente o conjunto das matrizes de J que são invertíveis, e é esse J^\times que forma um subgrupo de GL(2). A partir daqui vou trabalhar com essa versão (os elementos invertíveis), que é o que normalmente se quer ao dizer “ J é subgrupo de GL(2)” em exercícios.]

Passo 5

Identidade e existência de inversos (fechamento por inverso) — construção do inverso geral:
A identidade da multiplicação [I) é \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}, que corresponde a a=1,b=0 e portanto pertence a J. Agora mostro explicitamente a fórmula do inverso de um elemento genérico de J.
Seja
M=\begin{pmatrix}a & -b\\[4pt] b & a\end{pmatrix},\qquad\text{com }a^2+b^2\neq 0.
Procuramos N=\begin{pmatrix}x & -y\\[4pt] y & x\end{pmatrix} tal que MN=I. Multiplicando:
MN=\begin{pmatrix} ax - by & -(ay+bx)\\[6pt] ay+bx & ax - by \end{pmatrix}.
Para obter MN=I precisamos resolver
\begin{cases} ax - by = 1,\\[4pt] ay + bx = 0. \end{cases}
Essa é exatamente a equação linear que corresponde à divisão por a+bi\] quando pensamos em números complexos; resolvendo dá \[x = \dfrac{a}{a^2+b^2},\qquad y = -\dfrac{b}{a^2+b^2}.\] Portanto o inverso de \(M é
M^{-1}=\dfrac{1}{a^2+b^2}\begin{pmatrix}a & b\\[6pt] -b & a\end{pmatrix}.
Note que essa matriz tem a forma \begin{pmatrix}x & -y\\[4pt]y & x\end{pmatrix} com x,y dados acima, logo M^{-1}\in J. Isso mostra o fechamento por inverso para elementos com a^2+b^2\neq 0.]

Passo 6

Conclusão sobre (a) (resumindo e motivando):
  • Como a identidade está em J, o produto de dois elementos de J tem a mesma forma, e o inverso de qualquer elemento de J com a^2+b^2\neq 0 também tem essa forma, segue que o conjunto dos elementos invertíveis de J, isto é
J^\times = \left\{\begin{pmatrix}a & -b\\[4pt] b & a\end{pmatrix}\;;\; a^2+b^2\neq 0\right\},
é um subgrupo de GL(2). Se o enunciado pretendia incluir a matriz nula em J (ou seja, permitir a=b=0), então J não está contido em GL(2) e portanto não é subgrupo de GL(2). Em contextos usuais de álgebra essa distinção é mencionada, e muitas vezes os autores escrevem implicitamente J entendendo os elementos invertíveis. Para as partes (b) e (c) usaremos a fórmula do inverso válida quando a^2+b^2\neq 0.]

Passo 7

Cálculo do inverso do caso concreto (b):
Para \begin{pmatrix}3 & -4\\[4pt]4 & 3\end{pmatrix} temos a=3, b=4. Primeiro o determinante:
a^2+b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \neq 0,
logo a matriz é invertível. Aplicando a fórmula do passo anterior,
\begin{pmatrix}3 & -4\\[4pt]4 & 3\end{pmatrix}^{-1} = \dfrac{1}{25}\begin{pmatrix}3 & 4\\[6pt]-4 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 8

Cálculo do inverso geral (c) — resposta final da fórmula:
Como já mostrado, para \begin{pmatrix}a & -b\\[4pt] b & a\end{pmatrix} com a^2+b^2\neq 0 o inverso é
\begin{pmatrix}a & -b\\[4pt] b & a\end{pmatrix}^{-1} = \dfrac{1}{a^2+b^2}\begin{pmatrix}a & b\\[6pt]-b & a\end{pmatrix}.
Isso corresponde, na linguagem dos números complexos, a multiplicar por \dfrac{a-bi}{a^2+b^2}, ou seja, usar o conjugado dividido pelo quadrado do módulo.]

Resposta

(a) Estritamente falando J contém a matriz nula (caso a=b=0) e essa matriz não é invertível, então J tal como escrito não está contido em GL(2). Entretanto o subconjunto dos elementos invertíveis
\displaystyle J^\times=\left\{\begin{pmatrix}a & -b\\[4pt] b & a\end{pmatrix}\;;\; a^2+b^2\neq 0\right\}
é um subgrupo de GL(2).\newline
(b) \displaystyle \begin{pmatrix}3 & -4\\[4pt]4 & 3\end{pmatrix}^{-1}=\dfrac{1}{25}\begin{pmatrix}3 & 4\\[6pt]-4 & 3\end{pmatrix}.\newline
(c) \displaystyle \begin{pmatrix}a & -b\\[4pt] b & a\end{pmatrix}^{-1}=\dfrac{1}{a^2+b^2}\begin{pmatrix}a & b\\[6pt]-b & a\end{pmatrix}, desde que a^2+b^2\neq 0.]

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