Dado o conjunto A=\{\varnothing,\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}, diga quais das alternativas abaixo são verdadeiras, sempre justificando suas respostas. \{\varnothing,\{\varnothing\}\}\subset A.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
A=\{\varnothing,\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}
e pergunta se a afirmação
\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\subset A
é verdadeira.
Informações que o enunciado fornece (peguei-os do próprio enunciado):
A é um conjunto com dois elementos.
A afirmação a verificar é se o conjunto \{\varnothing,\{\varnothing\}\} é subconjunto de A; isto é, se todo elemento de \{\varnothing,\{\varnothing\}\} pertence a A.
Passo 2
Definições e distinção importante (aula rápida e prática):
Quando escrevemos x\in Y, isso significa que x é um elemento do conjunto Y.
Quando escrevemos B\subset C (ou B\subseteq C), isso significa que todo elemento de B também é elemento de C; formalmente, \forall x\,(x\in B \Rightarrow x\in C).
É crucial não confundir “ser elemento de” com “ser subconjunto de”. Exemplo concreto e simples:
Tome o número 1. Tem-se 1\notin\{ \{1\} \} (porque o único elemento de \{\{1\}\} é \{1\}, não o 1 isolado).
Porém \{1\}\in\{\{1\}\} e também \{1\}\subset\{1\} (um conjunto é subconjunto de si mesmo).
Esses exemplos mostram que um conjunto pode aparecer como elemento de outro conjunto sem que seus elementos estejam automaticamente no conjunto maior.
Passo 3
Escrever claramente os elementos de A. Do enunciado temos:
onde eu chamei de B o conjunto \{\varnothing,\{\varnothing\}\}. Assim:
Um elemento de A é \varnothing.
O outro elemento de A é exatamente B=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}.
Portanto fica claro que
B\in A.
Ou seja, o conjunto \{\varnothing,\{\varnothing\}\} aparece como um elemento de A.
Passo 4
Para verificar \{\varnothing,\{\varnothing\}\}\subset A precisamos checar se cada elemento de B pertence a A. Os elementos de B são:
\varnothing\quad\text{e}\quad\{\varnothing\}.
Vamos testar cada um.
Passo 5
Verificação de \varnothing\in A:
Pelo enunciado e pela escrita de A, o próprio \varnothing é um dos elementos listados de A. Logo
\varnothing\in A.
Verificação de \{\varnothing\}\in A:
Os elementos de A são apenas \varnothing e B.
Comparar \{\varnothing\} com esses dois:
\{\varnothing\}\neq\varnothing porque \varnothing não é igual a um conjunto que contém \varnothing.
\{\varnothing\}\neq B porque B=\{\varnothing,\{\varnothing\}\} tem dois elementos enquanto \{\varnothing\} tem apenas um. Em termos de cardinalidade,|\{\varnothing\}|=1\quad\text{e}\quad |B|=2,logo não podem ser iguais.
Portanto \{\varnothing\} não é igual a nenhum dos elementos de A, isto é,
\{\varnothing\}\notin A.
Passo 6
Concluir sobre a relação de subconjunto:
Para que B\subset A fosse verdadeira, ambos os elementos de B (isto é, \varnothing e \{\varnothing\}) teriam de pertencer a A.
Encontramos que \varnothing\in A mas \{\varnothing\}\notin A.
Logo nem todos os elementos de B pertencem a A, portanto
\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\not\subset A.
Observação final útil para a prova: apesar de \{\varnothing,\{\varnothing\}\} não ser subconjunto de A, ele é elemento de A (isto é, \{\varnothing,\{\varnothing\}\}\in A). Essa distinção costuma confundir muitos — anote-a!