Sejam v_{1}, v_{2} e v_{3} os vetores-linha e w_{1}, w_{2} e w_{3} os vetores-coluna da matriz \left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \\\\ 7 & 8 & 9\end{array}\right).
Denote por L e C os espaços gerados pelos vetores-linha e coluna, respectivamente, isto é, L=\left[v_{1}, v_{2}, v_{3}\right] e C=\left[w_{1}, w_{2}, w_{3}\right].
a) Verifique as relações v_{3}=2 v_{2}-v_{1} e w_{3}=2 w_{2}-w_{1}. O que você pode concluir sobre sobre as dimensões dos espaços L e C ?
b) Mostre que v_{1}, v_{2} \in C e w_{1}, w_{2} \in L. O que você pode concluir em relação aos espaços L e C ?
Passo 1
Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Os vetores-linha são \displaystyle v_{1}=(1,2,3),\; v_{2}=(4,5,6),\; v_{3}=(7,8,9).
As colunas são \displaystyle w_{1}=(1,4,7)^{T},\; w_{2}=(2,5,8)^{T},\; w_{3}=(3,6,9)^{T}.
Os espaços considerados são \displaystyle L=[v_{1},v_{2},v_{3}]=\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}
e \displaystyle C=[w_{1},w_{2},w_{3}]=\operatorname{span}\{w_{1},w_{2},w_{3}\}.
O enunciado pede:
a) Verificar as relações \;v_{3}=2v_{2}-v_{1}\; e \;w_{3}=2w_{2}-w_{1}\; e concluir sobre \dim(L) e \dim\text{(C)}.
b) Mostrar que \;v_{1},v_{2}\in C\; e \;w_{1},w_{2}\in L\; e concluir sobre a relação entre L e C.
Passo 2
Verificar as relações lineares pedidas (cálculo direto).
Interpretação da verificação: dependência linear e consequência para as dimensões.
Explicação curta do conceito que estamos usando:
Quando um vetor é combinação linear de outros, os vetores são linearmente dependentes.
Se entre três vetores há uma dependência (um é combinação dos outros), então o subespaço gerado por eles tem dimensão no máximo 2 (porque dois vetores podem gerar todos os três, se forem independentes).
Como v_{3}=2v_{2}-v_{1}, os três vetores v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente dependentes, logo \displaystyle \dim(L)\le 2.
Como w_{3}=2w_{2}-w_{1}, os três vetores w_{1},w_{2},w_{3} são linearmente dependentes, logo \displaystyle \dim\text{(C)}\le 2.
Passo 4
Mostrar que os pares geradores são de fato independentes (assim [\dim=2)).
Para L: testar se v_{1} e v_{2} são independentes. Suponha \displaystyle \alpha v_{1}+\beta v_{2}=0.
Escrevendo coordenadas:
Subtraindo 2\] vezes a primeira equação da segunda:
\[(2\alpha+5\beta)-2(\alpha+4\beta)=-3\beta=0\Rightarrow \beta=0.\]
Então \[\alpha=0. Logo só a solução trivial existe; v_{1} e v_{2} são linearmente independentes. Assim \displaystyle \dim(L)=2.
Para C: testar se w_{1} e w_{2} são independentes. Suponha \displaystyle a w_{1}+b w_{2}=0.
Componentes:
Subtraindo 4\] vezes a primeira da segunda:
\[(4a+5b)-4(a+2b)=-3b=0\Rightarrow b=0,\]
logo \(a=0. Assim w_{1} e w_{2} são independentes e \displaystyle \dim\text{(C)}=2.
Resumo até aqui: \dim(L)=\dim\text{(C)}=2.]
Passo 5
Agora provar que [v_{1},v_{2}\in C) encontrando combinações lineares explícitas.
Queremos a,b tais que a w_{1}+b w_{2}=v_{1}=(1,2,3). Resolvendo o sistema
Como C=\operatorname{span}\{w_{1},w_{2}\} e w_{1},w_{2}\in L, segue \displaystyle C\subseteq L.]
Passo 7
Concluir a relação entre L e C.
Já temos L\subseteq C e C\subseteq L. Logo \displaystyle L=C.
Além disso, como mostramos que cada um tem dimensão 2, podemos afirmar que \displaystyle L=C é um subespaço de \mathbb{R}^{3} de dimensão 2, gerado por qualquer par independente entre \{v_{1},v_{2},v_{3}\} ou por qualquer par independente entre \{w_{1},w_{2},w_{3}\}.
Resposta
a) \dim(L)=2 e \dim\text{(C)}=2
b) L=C (por exemplo L=\operatorname{span}\{v_{1},v_{2}\}=\operatorname{span}\{w_{1},w_{2}\})