Sejam v_{1}, v_{2} e v_{3} os vetores-linha e w_{1}, w_{2} e w_{3} os vetores-coluna da matriz \left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \\\\ 7 & 8 & 9\end{array}\right).
Denote por L e C os espaços gerados pelos vetores-linha e coluna, respectivamente, isto é, L=\left[v_{1}, v_{2}, v_{3}\right] e C=\left[w_{1}, w_{2}, w_{3}\right].
a) Verifique as relações v_{3}=2 v_{2}-v_{1} e w_{3}=2 w_{2}-w_{1}. O que você pode concluir sobre sobre as dimensões dos espaços L e C ?
b) Mostre que v_{1}, v_{2} \in C e w_{1}, w_{2} \in L. O que você pode concluir em relação aos espaços L e C ?

Passo 1

Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Os vetores-linha são
    \displaystyle v_{1}=(1,2,3),\; v_{2}=(4,5,6),\; v_{3}=(7,8,9).
  • As colunas são
    \displaystyle w_{1}=(1,4,7)^{T},\; w_{2}=(2,5,8)^{T},\; w_{3}=(3,6,9)^{T}.
  • Os espaços considerados são
    \displaystyle L=[v_{1},v_{2},v_{3}]=\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}
    e
    \displaystyle C=[w_{1},w_{2},w_{3}]=\operatorname{span}\{w_{1},w_{2},w_{3}\}.
O enunciado pede:
a) Verificar as relações \;v_{3}=2v_{2}-v_{1}\; e \;w_{3}=2w_{2}-w_{1}\; e concluir sobre \dim(L) e \dim\text{(C)}.
b) Mostrar que \;v_{1},v_{2}\in C\; e \;w_{1},w_{2}\in L\; e concluir sobre a relação entre L e C.

Passo 2

Verificar as relações lineares pedidas (cálculo direto).
Calcular 2v_{2}-v_{1}:
2v_{2}-v_{1}=2(4,5,6)-(1,2,3)=(8,10,12)-(1,2,3)=(7,8,9)=v_{3}.
Calcular 2w_{2}-w_{1}:
2w_{2}-w_{1}=2(2,5,8)-(1,4,7)=(4,10,16)-(1,4,7)=(3,6,9)=w_{3}.
Portanto as duas identidades estão corretas.

Passo 3

Interpretação da verificação: dependência linear e consequência para as dimensões.
Explicação curta do conceito que estamos usando:
  • Quando um vetor é combinação linear de outros, os vetores são linearmente dependentes.
  • Se entre três vetores há uma dependência (um é combinação dos outros), então o subespaço gerado por eles tem dimensão no máximo 2 (porque dois vetores podem gerar todos os três, se forem independentes).
Como v_{3}=2v_{2}-v_{1}, os três vetores v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente dependentes, logo
\displaystyle \dim(L)\le 2.
Como w_{3}=2w_{2}-w_{1}, os três vetores w_{1},w_{2},w_{3} são linearmente dependentes, logo
\displaystyle \dim\text{(C)}\le 2.

Passo 4

Mostrar que os pares geradores são de fato independentes (assim [\dim=2)).
Para L: testar se v_{1} e v_{2} são independentes. Suponha
\displaystyle \alpha v_{1}+\beta v_{2}=0.
Escrevendo coordenadas:
\begin{cases} \alpha+4\beta=0,\\[4pt] 2\alpha+5\beta=0,\\[4pt] 3\alpha+6\beta=0. \end{cases}
Subtraindo 2\] vezes a primeira equação da segunda: \[(2\alpha+5\beta)-2(\alpha+4\beta)=-3\beta=0\Rightarrow \beta=0.\] Então \[\alpha=0. Logo só a solução trivial existe; v_{1} e v_{2} são linearmente independentes. Assim
\displaystyle \dim(L)=2.
Para C: testar se w_{1} e w_{2} são independentes. Suponha
\displaystyle a w_{1}+b w_{2}=0.
Componentes:
\begin{cases} a+2b=0,\\[4pt] 4a+5b=0,\\[4pt] 7a+8b=0. \end{cases}
Subtraindo 4\] vezes a primeira da segunda: \[(4a+5b)-4(a+2b)=-3b=0\Rightarrow b=0,\] logo \(a=0. Assim w_{1} e w_{2} são independentes e
\displaystyle \dim\text{(C)}=2.
Resumo até aqui: \dim(L)=\dim\text{(C)}=2.]

Passo 5

Agora provar que [v_{1},v_{2}\in C) encontrando combinações lineares explícitas.
Queremos a,b tais que a w_{1}+b w_{2}=v_{1}=(1,2,3). Resolvendo o sistema
\begin{cases} a+2b=1,\\[4pt] 4a+5b=2,\\[4pt] 7a+8b=3, \end{cases}
pela eliminação obtemos b=\dfrac{2}{3}\] e \(a=-\dfrac{1}{3}. Verificação:
-\tfrac{1}{3}w_{1}+\tfrac{2}{3}w_{2}=-\tfrac{1}{3}(1,4,7)+\tfrac{2}{3}(2,5,8)=(1,2,3)=v_{1}.
Portanto v_{1}\in C.
Para v_{2}=(4,5,6) resolvendo
a+2b=4,\quad 4a+5b=5
obtemos b=\dfrac{11}{3} e a=-\dfrac{10}{3}. Verificação:
-\tfrac{10}{3}w_{1}+\tfrac{11}{3}w_{2}=(4,5,6)=v_{2},
logo v_{2}\in C.
Conclusão parcial: como L=\operatorname{span}\{v_{1},v_{2}\} e já mostramos v_{1},v_{2}\in C, segue
\displaystyle L\subseteq C.]

Passo 6

Mostrar que [w_{1},w_{2}\in L) encontrando combinações lineares explícitas.
Queremos \alpha,\beta tais que \alpha v_{1}+\beta v_{2}=w_{1}=(1,4,7)^{T}. Resolvendo
\begin{cases} \alpha+4\beta=1,\\[4pt] 2\alpha+5\beta=4, \end{cases}
obtém-se \beta=-\dfrac{2}{3}\] e \(\alpha=\dfrac{11}{3}. Verificação:
\tfrac{11}{3}v_{1}-\tfrac{2}{3}v_{2}=(1,4,7)=w_{1}.
Para w_{2}=(2,5,8)^{T} resolvendo
\alpha+4\beta=2,\quad 2\alpha+5\beta=5
obtém-se \beta=-\dfrac{1}{3} e \alpha=\dfrac{10}{3}. Verificação:
\tfrac{10}{3}v_{1}-\tfrac{1}{3}v_{2}=(2,5,8)=w_{2}.
Portanto w_{1},w_{2}\in L.
Como C=\operatorname{span}\{w_{1},w_{2}\} e w_{1},w_{2}\in L, segue
\displaystyle C\subseteq L.]

Passo 7

Concluir a relação entre L e C.
Já temos L\subseteq C e C\subseteq L. Logo
\displaystyle L=C.
Além disso, como mostramos que cada um tem dimensão 2, podemos afirmar que
\displaystyle L=C é um subespaço de \mathbb{R}^{3} de dimensão 2, gerado por qualquer par independente entre \{v_{1},v_{2},v_{3}\} ou por qualquer par independente entre \{w_{1},w_{2},w_{3}\}.

Resposta

a) \dim(L)=2 e \dim\text{(C)}=2
b) L=C (por exemplo L=\operatorname{span}\{v_{1},v_{2}\}=\operatorname{span}\{w_{1},w_{2}\})

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