Verdadeiro ou falso ? Dê uma justificativa a cada uma das suas respostas!
( ) O conjunto B=\left\{x^{2}-1, x^{2}-x, x^{2}\right\} forma uma base de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).
( ) O núcleo de toda transformação linear T: \mathbb{R}^{5} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} tem dimensão maior ou igual a 3 .
( ) Se \lambda é autovalor do operador invertível T, então \lambda^{-1} é autovalor de T^{-1}.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que nos é dado. Há três afirmações para decidir se são verdadeiras ou falsas e justificar cada uma.
Afirmações:
O conjunto B=\{x^{2}-1,\;x^{2}-x,\;x^{2}\} forma uma base de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).
O núcleo de toda transformação linear T:\mathbb{R}^{5}\longrightarrow\mathbb{R}^{3} tem dimensão maior ou igual a 3.
Se \lambda é autovalor do operador invertível T, então \lambda^{-1} é autovalor de T^{-1}.
O que precisamos devolver: para cada afirmação, dizer “Verdadeiro” ou “Falso” e justificar com argumentos claros. Vou trabalhar cada uma separadamente, explicando as ideias e as ferramentas usadas.
Passo 2
Preparando a teoria necessária (bem mastigada) antes de atacar cada item:
Para decidir se um conjunto de 3 polinômios em \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) é base, usamos que \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) tem dimensão 3. Assim, um subconjunto com 3 vetores (polinômios) é base exatamente quando é linearmente independente (ou, equivalentemente, quando gera o espaço). Uma forma prática: escrever os polinômios em coordenadas na base padrão \{1,x,x^{2}\} e verificar se as colunas formam uma matriz de determinante não nulo.
Para o núcleo de uma transformação linear usamos o Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity): para T: V\to W com \dim V=n,
\dim V = \operatorname{rank}(T) + \dim\ker(T).
Aqui \operatorname{rank}(T)\le \dim W. Assim \dim\ker(T)=\dim V-\operatorname{rank}(T), e essa fórmula é a ferramenta para comparar dimensões.
Para autovalores de um operador invertível T: se T é invertível e T(v)=\lambda v com v\neq 0, costuma-se aplicar T^{-1} para relacionar autovalores de T e T^{-1}. Também é importante lembrar que 0 não pode ser autovalor de um operador invertível (pois T(v)=0 implicaria não invertibilidade).
Passo 3
Analisando a afirmação 1: B=\{x^{2}-1,\;x^{2}-x,\;x^{2}\} é base de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) ?
Escrever cada polinômio por coeficientes na base \{1,x,x^{2}\}:
x^{2}-1 corresponde ao vetor de coeficientes \begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix} (ordem: coef. de 1,\;x,\;x^{2}).
x^{2}-x corresponde a \begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
x^{2} corresponde a \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Formar a matriz cujas colunas são esses vetores (cada coluna é um polinômio em coordenadas):
Como \det(A)=1\neq 0, as colunas são linearmente independentes.
Conclusão passo a passo: temos 3 vetores em um espaço de dimensão 3 e eles são linearmente independentes, portanto geram \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}). Logo B é uma base de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).]
Passo 4
Analisando a afirmação 2: “O núcleo de toda transformação linear T:\mathbb{R}^{5}\longrightarrow\mathbb{R}^{3} tem dimensão maior ou igual a 3.” — verificar se isso é sempre verdade.
Aplicar rank–nullity: para qualquer T:\mathbb{R}^{5}\to\mathbb{R}^{3},
O posto (rank) satisfaz \operatorname{rank}(T)\le \dim\mathbb{R}^{3}=3. Logo o menor valor possível para \dim\ker(T) ocorre quando \operatorname{rank}(T) é máximo, isto é 3. Então o menor possível para \dim\ker(T) é
5-3=2.
Portanto \dim\ker(T) pode ser 2 (ou 3,4,5 se o posto for menor). A afirmação que diz “\dim\ker(T)\ge 3” exige que o núcleo tenha dimensão no mínimo 3 para toda transformação — mas vimos que existe possibilidade de dimensão 2. Logo a afirmação é falsa.
Exemplo concreto (contraexemplo): definir T:\mathbb{R}^{5}\to\mathbb{R}^{3} por
logo \dim\ker(T)=2. Isso mostra explicitamente que nem sempre \dim\ker(T)\ge 3.
Passo 5
Analisando a afirmação 3: “Se \lambda é autovalor do operador invertível T, então \lambda^{-1} é autovalor de T^{-1}.”
Suponha que T é invertível e T(v)=\lambda v para algum v\neq 0. Por invertibilidade de T, não é possível ter \lambda=0 (se \lambda=0 então T(v)=0 com v\neq0, o que contradiz a invertibilidade). Então \lambda\neq 0 e \lambda^{-1} existe.
Isto mostra que v é vetor próprio de T^{-1} associado ao autovalor \lambda^{-1}.
Portanto, sempre que \lambda é autovalor de um operador invertível T, \lambda^{-1} é autovalor de T^{-1}. A afirmação é verdadeira. (Um exemplo numérico simples: se T multiplica todos os vetores por 2 em \mathbb{R}, então 2 é autovalor de T e 1/2 é autovalor de T^{-1}.)
Passo 6
Resumo curto das conclusões (para fixar):
No item 1 usamos representação por coordenadas + determinante ≠ 0 ⇒ base.
No item 2 usamos rank–nullity para obter o menor possível para \dim\ker(T) e construímos um contraexemplo com núcleo de dimensão 2.
No item 3 aplicamos T^{-1} à equação de autovalor e obtivemos diretamente o autovalor inverso.