Verdadeiro ou falso ? Dê uma justificativa a cada uma das suas respostas!
( ) O conjunto B=\left\{x^{2}-1, x^{2}-x, x^{2}\right\} forma uma base de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).
( ) O núcleo de toda transformação linear T: \mathbb{R}^{5} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} tem dimensão maior ou igual a 3 .
( ) Se \lambda é autovalor do operador invertível T, então \lambda^{-1} é autovalor de T^{-1}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que nos é dado. Há três afirmações para decidir se são verdadeiras ou falsas e justificar cada uma.
Afirmações:
  1. O conjunto B=\{x^{2}-1,\;x^{2}-x,\;x^{2}\} forma uma base de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).
  2. O núcleo de toda transformação linear T:\mathbb{R}^{5}\longrightarrow\mathbb{R}^{3} tem dimensão maior ou igual a 3.
  3. Se \lambda é autovalor do operador invertível T, então \lambda^{-1} é autovalor de T^{-1}.
O que precisamos devolver: para cada afirmação, dizer “Verdadeiro” ou “Falso” e justificar com argumentos claros. Vou trabalhar cada uma separadamente, explicando as ideias e as ferramentas usadas.

Passo 2

Preparando a teoria necessária (bem mastigada) antes de atacar cada item:
  • Para decidir se um conjunto de 3 polinômios em \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) é base, usamos que \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) tem dimensão 3. Assim, um subconjunto com 3 vetores (polinômios) é base exatamente quando é linearmente independente (ou, equivalentemente, quando gera o espaço). Uma forma prática: escrever os polinômios em coordenadas na base padrão \{1,x,x^{2}\} e verificar se as colunas formam uma matriz de determinante não nulo.
  • Para o núcleo de uma transformação linear usamos o Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity): para T: V\to W com \dim V=n,
\dim V = \operatorname{rank}(T) + \dim\ker(T).
Aqui \operatorname{rank}(T)\le \dim W. Assim \dim\ker(T)=\dim V-\operatorname{rank}(T), e essa fórmula é a ferramenta para comparar dimensões.
  • Para autovalores de um operador invertível T: se T é invertível e T(v)=\lambda v com v\neq 0, costuma-se aplicar T^{-1} para relacionar autovalores de T e T^{-1}. Também é importante lembrar que 0 não pode ser autovalor de um operador invertível (pois T(v)=0 implicaria não invertibilidade).

Passo 3

Analisando a afirmação 1: B=\{x^{2}-1,\;x^{2}-x,\;x^{2}\} é base de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) ?
  1. Escrever cada polinômio por coeficientes na base \{1,x,x^{2}\}:
  • x^{2}-1 corresponde ao vetor de coeficientes \begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix} (ordem: coef. de 1,\;x,\;x^{2}).
  • x^{2}-x corresponde a \begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  • x^{2} corresponde a \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  1. Formar a matriz cujas colunas são esses vetores (cada coluna é um polinômio em coordenadas):
A=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
  1. Calcular o determinante de A. Uma maneira simples é expandir pela terceira coluna (que tem só um elemento não nulo na terceira linha):
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}=1\cdot[(-1)(-1)-0]=1.
Como \det(A)=1\neq 0, as colunas são linearmente independentes.
  1. Conclusão passo a passo: temos 3 vetores em um espaço de dimensão 3 e eles são linearmente independentes, portanto geram \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}). Logo B é uma base de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).]

Passo 4

Analisando a afirmação 2: “O núcleo de toda transformação linear T:\mathbb{R}^{5}\longrightarrow\mathbb{R}^{3} tem dimensão maior ou igual a 3.” — verificar se isso é sempre verdade.
  1. Aplicar rank–nullity: para qualquer T:\mathbb{R}^{5}\to\mathbb{R}^{3},
\dim\ker(T)=\dim\mathbb{R}^{5}-\operatorname{rank}(T)=5-\operatorname{rank}(T).
  1. O posto (rank) satisfaz \operatorname{rank}(T)\le \dim\mathbb{R}^{3}=3. Logo o menor valor possível para \dim\ker(T) ocorre quando \operatorname{rank}(T) é máximo, isto é 3. Então o menor possível para \dim\ker(T) é
5-3=2.
  1. Portanto \dim\ker(T) pode ser 2 (ou 3,4,5 se o posto for menor). A afirmação que diz “ \dim\ker(T)\ge 3” exige que o núcleo tenha dimensão no mínimo 3 para toda transformação — mas vimos que existe possibilidade de dimensão 2. Logo a afirmação é falsa.
  2. Exemplo concreto (contraexemplo): definir T:\mathbb{R}^{5}\to\mathbb{R}^{3} por
T(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=(x_{1},x_{2},x_{3}).
Aqui \operatorname{rank}(T)=3 (as três primeiras coordenadas são independentes) e
\ker(T)=\{(0,0,0,x_{4},x_{5})\mid x_{4},x_{5}\in\mathbb{R}\},
logo \dim\ker(T)=2. Isso mostra explicitamente que nem sempre \dim\ker(T)\ge 3.

Passo 5

Analisando a afirmação 3: “Se \lambda é autovalor do operador invertível T, então \lambda^{-1} é autovalor de T^{-1}.”
  1. Suponha que T é invertível e T(v)=\lambda v para algum v\neq 0. Por invertibilidade de T, não é possível ter \lambda=0 (se \lambda=0 então T(v)=0 com v\neq0, o que contradiz a invertibilidade). Então \lambda\neq 0 e \lambda^{-1} existe.
  2. Aplicar T^{-1} à igualdade T(v)=\lambda v. Temos
T^{-1}T(v)=T^{-1}(\lambda v)\quad\Rightarrow\quad v=\lambda\,T^{-1}(v).
  1. Isolar T^{-1}(v):
T^{-1}(v)=\lambda^{-1} v.
Isto mostra que v é vetor próprio de T^{-1} associado ao autovalor \lambda^{-1}.
  1. Portanto, sempre que \lambda é autovalor de um operador invertível T, \lambda^{-1} é autovalor de T^{-1}. A afirmação é verdadeira. (Um exemplo numérico simples: se T multiplica todos os vetores por 2 em \mathbb{R}, então 2 é autovalor de T e 1/2 é autovalor de T^{-1}.)

Passo 6

Resumo curto das conclusões (para fixar):
  • No item 1 usamos representação por coordenadas + determinante ≠ 0 ⇒ base.
  • No item 2 usamos rank–nullity para obter o menor possível para \dim\ker(T) e construímos um contraexemplo com núcleo de dimensão 2.
  • No item 3 aplicamos T^{-1} à equação de autovalor e obtivemos diretamente o autovalor inverso.

Resposta

Verdadeiro
Falso
Verdadeiro

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