Dado os denominadores da função de transferência malha fechada abaixo, determine a estabilidade do sistema:
d(z)=z^4-1,2 z^3+0,07 z^2+0,3 z-0,08;

Passo 1

O enunciado dá o polinômio característico de um sistema discreto em malha fechada
d(z)=z^4-1,2,z^3+0,07,z^2+0,3,z-0,08
e pede para decidir se o sistema é estável. Em sistemas digitais, estabilidade exige que todas as raízes de d(z) estejam dentro do círculo unitário z:|z|<1. Vamos então fatorar d(z) e verificar os polos.

Passo 2

Procuramos raízes racionais testando valores simples. Calculamos
d(0,5)=(0,5)^4-1,2,(0,5)^3+0,07,(0,5)^2+0,3,(0,5)-0,08 =0,0625-0,15+0,0175+0,15-0,08=0,
logo z=0,5 é raiz. Podemos então dividir d(z) por (z-0,5).

Passo 3

Fazendo divisão sintética de
1,;-1,2,;0,07,;0,3,;-0,08
por z=0,5, obtemos coeficientes do quociente
1,;-0,7,;-0,28,;0,16
ou seja
d(z)=(z-0,5)l(z^3-0,7,z^2-0,28,z+0,16r)

Passo 4

No fator cúbico testamos z=0,8:
0,8^3-0,7,(0,8)^2-0,28,(0,8)+0,16 =0,512-0,448-0,224+0,16=0,
então z=0,8 é raiz. Dividindo sinteticamente
1,;-0,7,;-0,28,;0,16
por z=0,8 vem
1,;0,1,;-0,2
e assim
d(z)=(z-0,5)(z-0,8)(z^2+0,1,z-0,2)

Passo 5

Resolvendo a quadrática
z^2+0,1,z-0,2=0
vem
z=-0,1pmraiz0,01+0,82 =-0,1pm0,92 ;Longrightarrow; z1=0,4,;z2=-0,5

Passo 6

As quatro raízes são
z=0,5,0,8,0,4,-0,5
e seus módulos são 0,5, 0,8, 0,4 e 0,5, todos estritamente menores que 1. Logo todos os polos estão dentro do círculo unitário.

Resposta

O sistema é estável.

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