Dado os denominadores da função de transferência malha fechada abaixo, determine a estabilidade do sistema:
d(z)=z^2+(-1,368+0,632 K) z+0,368;

Passo 1

Temos o polinômio característico da malha fechada
d(z)=z^2+(-1,368+0,632K),z+0,368
Queremos saber para quais valores de K as duas raízes ficam dentro do círculo unitário (estabilidade de um sistema discreto). Vamos usar o critério de Jury simplificado para polinômios de grau 2.

Passo 2

Para um polinômio monico
P(z)=z^2+p,z+q
todas as raízes estão dentro do círculo unitário se, e somente se, valem simultaneamente:
|q|<1, 1 + p + q > 0, 1 - p + q > 0

Passo 3

Identificamos em d(z) que
p = -1,368 + 0,632K, q = 0,368
Primeira condição:
|q| = 0,368 < 1,
sempre satisfeita, independentemente de K.

Passo 4

Segunda condição:
1 + p + q > 0 ;Longrightarrow; 1 + (-1,368 + 0,632K) + 0,368 > 0 ;Longrightarrow; 0,632,K > 0 ;Longrightarrow; K > 0

Passo 5

Terceira condição:
1 - p + q > 0 ;Longrightarrow; 1 -(-1,368 + 0,632K) + 0,368 > 0 ;Longrightarrow; 2,736 - 0,632,K > 0 ;Longrightarrow; 0,632,K < 2,736 ;Longrightarrow; K < 2,7360,632approx 4,33

Resposta

O sistema é estável para
0 < K < 4,33

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