Considere um sistema de controle de tempo discreto com realimentação unitária cuja função de transferência malha aberta é dada abaixo, determine intervalo do ganho K para a estabilidade:
G(z)=K(0,3679 z-0,2642)(z-0,3679)(z-1)

Passo 1

O enunciado descreve um sistema de tempo discreto em realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta é
G(z)=K,(0,3679,z-0,2642)(z-0,3679),(z-1)
Queremos achar o intervalo de K para que todos os polos do sistema em malha fechada fiquem dentro do círculo unitário. Vamos usar o critério de estabilidade de Jury em um polinômio de segunda ordem.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico em malha fechada a partir de
1 + G(z) = 0 Longrightarrow (z-0,3679)(z-1) + K,(0,3679,z-0,2642) = 0
Expandindo o produto e agrupando termos em z^2, z e termo constante, obtemos
z^2 + b1,z + b0 = 0,
onde
b1 = 0,3679,K - 1,3679, b0 = 0,3679 - 0,2642,K

Passo 3

O critério de Jury para o polinômio z^2 + b1 z + b0 exige as três condições:
1);1 + b1 + b0 > 0, 2);1 - b1 + b0 > 0, 3);1 - b0 > 0

Passo 4

Calculamos cada desigualdade em função de K:
  1. 1 + b1 + b0>0
1 + (0,3679K -1,3679) + (0,3679 -0,2642K) = 0,1037,K >0 ;Longrightarrow;K>0
  1. 1 - b1 + b0>0
1 - (0,3679K -1,3679) + (0,3679 -0,2642K) = 2,7358 -0,6321,K >0 ;Longrightarrow;K < 2,73580,6321approx 4,327
  1. 1 - b0>0
1 - (0,3679 -0,2642K) = 0,6321 +0,2642,K >0 ;Longrightarrow;K > -2,392
Essa terceira condição é sempre satisfeita se K>0.

Passo 5

Concluímos que, para estabilidade (polos estritamente dentro do círculo unitário), precisamos de
0 < K < 4,327

Resposta

0 < K < 4,327.

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