Dado um diodo de silício com uma corrente reversa de 5 \mu \mathrm{~A} em 25^{\circ} \mathrm{C} e 100 \mu \mathrm{~A} em 100^{\circ} \mathrm{C}, calcule a corrente de saturação e a corrente de fuga superficial.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Corrente reversa em 25^\circ\mathrm{C}: I_1 = 5\\ \mu\mathrm{A}.
    • Corrente reversa em 100^\circ\mathrm{C}: I_2 = 100\\ \mu\mathrm{A}.
    • Temperaturas: T_1 = 25^\circ\mathrm{C} = 298{,}15\\ \mathrm{K} e T_2 = 100^\circ\mathrm{C} = 373{,}15\\ \mathrm{K}.
    • Para silício usarei a energia de gap E_g = 1,12\\ \mathrm{eV} e a constante de Boltzmann k = 8{,}617\times10^{-5}\\ \mathrm{eV/K}.
  • O enunciado pede:
    • Calcular a corrente de saturação (componente de bulk) do diodo.
    • Calcular a corrente de fuga superficial.

Passo 2

Modelo físico e hipótese usada (explicando por que):
A corrente reversa de um diodo real costuma ser composta de duas parcelas principais:
  • uma parcela de saturação volumétrica (bulk), que cresce fortemente com a temperatura e tem dependência exponencial aproximadamente do tipo \exp\!\big(-E_g/(kT)\big);
  • uma parcela de fuga superficial, que tem dependência muito mais fraca com a temperatura (pode ser considerada aproximadamente constante entre as duas temperaturas dadas, como aproximação útil para este problema).
Assim vou modelar a corrente reversa medida como soma de duas parcelas:
I_{\text{rev}}(T)=A\,\exp\!\Big(-\dfrac{E_g}{kT}\Big)+I_{\text{surf}},
onde:
  • A é um prefactor que descreve a magnitude da contribuição volumétrica (é uma constante independente de T nesta forma simplificada);
  • I_{\text{surf}} é a corrente de fuga superficial (assumida aproximadamente constante entre T_1 e T_2).
Explicando em palavras simples: a primeira parcela é o “ruído térmico” que cresce muito com T por causa da criação de pares elétron-lacuna (dependência exponencial), enquanto a segunda é a corrente que escapa pela superfície e muda pouco entre 25 e 100 °C. Com duas medidas (duas temperaturas) podemos determinar as duas incógnitas A e I_{\text{surf}}.

Passo 3

Escrevendo as duas equações para as medidas em T_1 e T_2:
I_1 = A\,\exp\!\Big(-\dfrac{E_g}{kT_1}\Big) + I_{\text{surf}},
I_2 = A\,\exp\!\Big(-\dfrac{E_g}{kT_2}\Big) + I_{\text{surf}}.
Subtraindo as duas equações para eliminar I_{\text{surf}}:
I_2-I_1 = A\left[\exp\!\Big(-\dfrac{E_g}{kT_2}\Big)-\exp\!\Big(-\dfrac{E_g}{kT_1}\Big)\right].
Daí isolamos A:
A=\dfrac{I_2-I_1}{\displaystyle \exp\!\Big(-\dfrac{E_g}{kT_2}\Big)-\displaystyle\exp\!\Big(-\dfrac{E_g}{kT_1}\Big)}.
Depois de obter A, voltamos para uma das equações para achar I_{\text{surf}}:
I_{\text{surf}} = I_1 - A\,\exp\!\Big(-\dfrac{E_g}{kT_1}\Big).
A corrente de saturação (bulk) na temperatura T_1 fica então
I_{\text{sat,bulk}}(T_1)=A\,\exp\!\Big(-\dfrac{E_g}{kT_1}\Big).
(ou, se fosse pedido, poderia-se também avaliar I_{\text{sat,bulk}}(T_2)).

Passo 4

Agora vamos calcular numericamente cada termo necessário.
Calcule os expoentes:
\dfrac{E_g}{kT_1}=\dfrac{1,12}{8{,}617\times10^{-5}\cdot298{,}15}\approx 43{,}60,
\dfrac{E_g}{kT_2}=\dfrac{1,12}{8{,}617\times10^{-5}\cdot373{,}15}\approx 34{,}80.
Calcule as exponenciais:
\exp\!\Big(-\dfrac{E_g}{kT_1}\Big)\approx \exp(-43{,}60)\approx 1{,}17\times10^{-19},
\exp\!\Big(-\dfrac{E_g}{kT_2}\Big)\approx \exp(-34{,}80)\approx 7{,}59\times10^{-16}.
Observe que a parcela volumétrica é extremamente pequena isoladamente, por isso a fuga superficial domina a corrente a 25^\circ\mathrm{C}, mas a parcela volumétrica cresce muito em 100^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Calcule A usando as correntes medidas ( I_1=5\\ \mu\mathrm{A}=5\times10^{-6}\\ \mathrm{A}, I_2=100\\ \mu\mathrm{A}=1,00\times10^{-4}\\ \mathrm{A}):
I_2-I_1 = 95\times10^{-6}\\ \mathrm{A}.
A=\dfrac{95\times10^{-6}}{7{,}59\times10^{-16}-1{,}17\times10^{-19}}\approx\dfrac{95\times10^{-6}}{7{,}589\times10^{-16}}\approx 1{,}25\times10^{11}\\ \mathrm{A}.
Agora a corrente de saturação volumétrica em T_1 (25 °C):
I_{\text{sat,bulk}}(T_1)=A\exp\!\Big(-\dfrac{E_g}{kT_1}\Big) \approx 1{,}25\times10^{11}\cdot1{,}17\times10^{-19}\approx 1{,}47\times10^{-8}\\ \mathrm{A}.
Isto é,
I_{\text{sat,bulk}}(25^\circ\mathrm{C})\approx 1{,}47\times10^{-8}\\ \mathrm{A}=14{,}7\\ \mathrm{nA}.
Agora I_{\text{surf}}:
I_{\text{surf}}=I_1-I_{\text{sat,bulk}}(T_1)\approx 5{,}00\times10^{-6}-1{,}47\times10^{-8}\approx 4{,}985\times10^{-6}\\ \mathrm{A}.
Isto é,
I_{\text{surf}}\approx 4{,}985\times10^{-6}\\ \mathrm{A}=4{,}985\\ \mu\mathrm{A}\approx 4{,}99\\ \mu\mathrm{A}.
Verificação rápida: a parcela volumétrica em T_2 vale
I_{\text{sat,bulk}}(T_2)=A\exp\!\Big(-\dfrac{E_g}{kT_2}\Big)\approx 1{,}25\times10^{11}\cdot7{,}59\times10^{-16}\approx 9{,}50\times10^{-5}\\ \mathrm{A}=95\\ \mu\mathrm{A},
e somando I_{\text{surf}}\approx4{,}99\\ \mu\mathrm{A} obtém-se aproximadamente 100\\ \mu\mathrm{A}, como medido — bom sinal.

Passo 6

Interpretação final (resumindo em linguagem direta e amigável):
  • A maior parte da corrente medida a 25^\circ\mathrm{C} vem da fuga superficial (quase 5\\ \mu\mathrm{A}); a componente de saturação volumétrica a 25 °C é pequena (alguns nA).
  • Ao subir a 100^\circ\mathrm{C} a componente volumétrica cresce muito (para cerca de 95\\ \mu\mathrm{A}), explicando o aumento forte da corrente total.
Força aí — é comum em exames esse tipo de modelagem com duas componentes e duas medições; o truque é escrever as duas equações e eliminar a incógnita fácil.

Resposta

I_{\text{sat,bulk}}(25^\circ\mathrm{C})\approx 1{,}47\times10^{-8}\\ \mathrm{A}=14{,}7\\ \mathrm{nA}
I_{\text{surf}}\approx 4{,}985\times10^{-6}\\ \mathrm{A}=4{,}99\\ \mu\mathrm{A}

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