( 1,0 ponto) faça um esboço da superfície
, onde
Passo 1
O enunciado pede para fazer um esboço da superfície
definida por
onde
Informações dadas e o que é pedido:
- A função
é . - A superfície
é o conjunto de pontos em tais que . - É pedido um esboço (uma descrição geométrica e como desenhar) da superfície
.
Passo 2
Interpretação imediata da equação
. A condição
equivale a
Isso já é uma forma simples:
deve ser igual ao valor absoluto de
. Note que nesta equação não aparece
; logo
é livre (pode ser qualquer número). Vou explicar o significado disso com calma.
Passo 3
Reescrever o valor absoluto em duas maneiras (casos), porque
é peça‑wise:
- Se
então . Nesse caso a equação vira - Se
então . Nesse caso a equação vira
Observe que em
ambas as fórmulas dão
, então o ponto com
pertence a ambos os casos (quando
).
Passo 4
Geometria de cada caso:
- A equação
(sem restrição) define um plano em . Com a restrição ficamos apenas com a metade desse plano onde é não negativo — isto é, um semi‑plano. - A equação
também define um plano; com a restrição obtemos o outro semi‑plano.
Em ambos os semi‑planos a coordenadanão aparece, portanto cada um é paralelo ao eixo (ou seja, são “verticais” no sentido de que se estendem infinitamente na direção de ).
Passo 5
Escrever parametrizações explícitas (útil para visualizar e desenhar). Tomando um parâmetro
para a distância em
e
para a coordenada
:
Essas duas parametrizações cobrem toda a superfície
. Cada uma descreve um semi‑plano paralelo ao eixo
.
Passo 6
Interpretação via seções transversais (ótimo para esboçar):
- Se intersectarmos
com o plano , obtemos a curva plana no plano , que é o clássico gráfico em “V” do valor absoluto: duas ramos retilíneos que se encontram na origem e abrem na direção positiva de . - Agora, como
é livre, esse “V” é simplesmente “extrudado” ao longo do eixo . Ou seja, para cada valor de há um “V” idêntico. O resultado é a união de dois semi‑planos verticais que se encontram ao longo da reta que é o eixo .
Passo 7
Como fazer o esboço, passo a passo (faça no papel):
- Desenhe um sistema de eixos: escolha
apontando para a direita, formando o plano horizontal (direita/esquerda) e vertical saindo para cima (ou use convenção que preferir). - No plano
desenhe a curva : é um “V” com ponta na , dois ramos retilíneos que formam um ângulo de no plano e abrem para a direita (isto é, é sempre não negativo). - A partir desse “V”, desenhe linhas paralelas ao eixo
(traços verticais) para várias posições ao longo do “V” — isso mostra a extrusão: cada ponto do “V” gera uma reta vertical, e a união de todas elas é a superfície . - Marque alguns pontos notáveis, por exemplo
, (pertencem a ), e a reta que é a aresta onde os dois semi‑planos se encontram.
Passo 8
Recapitulando em linguagem curta e amigável: a superfície
não é uma superfície curva suave — é formada por dois semi‑planos planos e infinitos, cada um paralelo ao eixo
, que se encontram ao longo do eixo
. Visualize um “V” no chão (plano
) e imagine levantá‑lo verticalmente em todas as direções; isso é
. Vai dar certo no esboço — desenha o V e puxa pra cima!
Resposta
ou seja, a união de dois semi‑planos verticais paralelos ao eixo
que se encontram na reta
.