( 1,0 ponto) faça um esboço da superfície S: g(x)=0, onde g(x)=x_{1}-\left|x_{2}\right|, x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para fazer um esboço da superfície S definida por
S=\{x=(x_{1},x_{2},x_{3})\in\mathbb{R}^{3}\mid g(x)=0\},
onde
g(x)=x_{1}-\left|x_{2}\right|.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função g é g(x)=x_{1}-\left|x_{2}\right|.
  • A superfície S é o conjunto de pontos em \mathbb{R}^{3} tais que x_{1}-\left|x_{2}\right|=0.
  • É pedido um esboço (uma descrição geométrica e como desenhar) da superfície S.

Passo 2

Interpretação imediata da equação g(x)=0. A condição g(x)=0 equivale a
x_{1}=\left|x_{2}\right|.
Isso já é uma forma simples: x_{1} deve ser igual ao valor absoluto de x_{2}. Note que nesta equação não aparece x_{3}; logo x_{3} é livre (pode ser qualquer número). Vou explicar o significado disso com calma.

Passo 3

Reescrever o valor absoluto em duas maneiras (casos), porque \left|x_{2}\right| é peça‑wise:
  • Se x_{2}\ge 0 então \left|x_{2}\right|=x_{2}. Nesse caso a equação vira x_{1}=x_{2}\quad\text{com}\quad x_{2}\ge 0.
  • Se x_{2}\le 0 então \left|x_{2}\right|=-x_{2}. Nesse caso a equação vira x_{1}=-x_{2}\quad\text{com}\quad x_{2}\le 0.
Observe que em x_{2}=0 ambas as fórmulas dão x_{1}=0, então o ponto com x_{1}=0,x_{2}=0 pertence a ambos os casos (quando x_{2}=0).

Passo 4

Geometria de cada caso:
  • A equação x_{1}=x_{2} (sem restrição) define um plano em \mathbb{R}^{3}. Com a restrição x_{2}\ge 0 ficamos apenas com a metade desse plano onde x_{2} é não negativo — isto é, um semi‑plano.
  • A equação x_{1}=-x_{2} também define um plano; com a restrição x_{2}\le 0 obtemos o outro semi‑plano.
    Em ambos os semi‑planos a coordenada x_{3} não aparece, portanto cada um é paralelo ao eixo x_{3} (ou seja, são “verticais” no sentido de que se estendem infinitamente na direção de x_{3}).

Passo 5

Escrever parametrizações explícitas (útil para visualizar e desenhar). Tomando um parâmetro u\ge 0 para a distância em x_{2} e v\in\mathbb{R} para a coordenada x_{3}:
\text{ramo positivo: }\quad (x_{1},x_{2},x_{3})=(u,u,v),\qquad u\ge 0,\\ v\in\mathbb{R},
\text{ramo negativo: }\quad (x_{1},x_{2},x_{3})=(u,-u,v),\qquad u\ge 0,\\ v\in\mathbb{R}.
Essas duas parametrizações cobrem toda a superfície S. Cada uma descreve um semi‑plano paralelo ao eixo x_{3}.

Passo 6

Interpretação via seções transversais (ótimo para esboçar):
  • Se intersectarmos S com o plano \,x_{3}=0, obtemos a curva plana x_{1}=\left|x_{2}\right|no plano x_{3}=0, que é o clássico gráfico em “V” do valor absoluto: duas ramos retilíneos que se encontram na origem e abrem na direção positiva de x_{1}.
  • Agora, como x_{3} é livre, esse “V” é simplesmente “extrudado” ao longo do eixo x_{3}. Ou seja, para cada valor de x_{3} há um “V” idêntico. O resultado é a união de dois semi‑planos verticais que se encontram ao longo da reta \{(0,0,x_{3})\mid x_{3}\in\mathbb{R}\},que é o eixo x_{3}.

Passo 7

Como fazer o esboço, passo a passo (faça no papel):
  1. Desenhe um sistema de eixos: escolha x_{1} apontando para a direita, x_{2} formando o plano horizontal (direita/esquerda) e x_{3} vertical saindo para cima (ou use convenção que preferir).
  2. No plano x_{3}=0 desenhe a curva x_{1}=\left|x_{2}\right|: é um “V” com ponta na (0,0,0), dois ramos retilíneos que formam um ângulo de 90^\circ no plano x_{1}x_{2} e abrem para a direita (isto é, x_{1} é sempre não negativo).
  3. A partir desse “V”, desenhe linhas paralelas ao eixo x_{3} (traços verticais) para várias posições ao longo do “V” — isso mostra a extrusão: cada ponto do “V” gera uma reta vertical, e a união de todas elas é a superfície S.
  4. Marque alguns pontos notáveis, por exemplo (1,1,0), (1,-1,0) (pertencem a S), e a reta (0,0,x_{3}) que é a aresta onde os dois semi‑planos se encontram.

Passo 8

Recapitulando em linguagem curta e amigável: a superfície S não é uma superfície curva suave — é formada por dois semi‑planos planos e infinitos, cada um paralelo ao eixo x_{3}, que se encontram ao longo do eixo x_{3}. Visualize um “V” no chão (plano x_{3}=0) e imagine levantá‑lo verticalmente em todas as direções; isso é S. Vai dar certo no esboço — desenha o V e puxa pra cima!

Resposta

S=\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in\mathbb{R}^{3}\mid x_{1}=\left|x_{2}\right|\} =\{(u,u,v)\mid u\ge 0,\\ v\in\mathbb{R}\}\\ \cup\\ \{(u,-u,v)\mid u\ge 0,\\ v\in\mathbb{R}\},
ou seja, a união de dois semi‑planos verticais paralelos ao eixo x_{3} que se encontram na reta \{(0,0,x_{3})\mid x_{3}\in\mathbb{R}\}.

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