( 1,0 ponto) justifique porque a superfície S em (2a) não adminte plano tangente no ponto ( 0,0,0 )

Passo 1

O enunciado pede: justificar por que a superfície S em (2a) não admite plano tangente no ponto (0,0,0).
Informações fornecidas pelo enunciado que recebi:
  • Apenas a afirmação de que existe uma superfície chamada S mencionada em “(2a)”.
  • O ponto em questão é (0,0,0).
Informação que falta (ou seja, o que não foi fornecido e que é necessário para resolver a questão):
  • A equação explícita de S (por exemplo z=f(x,y)), ou
  • Uma descrição implícita F(x,y,z)=0, ou
  • Uma parametrização \mathbf{r}(u,v) de S, ou
  • Uma figura/diagrama que explique o comportamento de S perto de (0,0,0).

Passo 2

O que normalmente é preciso apresentar para justificar que uma superfície não admite plano tangente num ponto.
Vou listar as condições típicas e as formas que uma prova pode tomar, dependendo de como S for dada. Isto serve como um “manual” para você aplicar ao caso concreto assim que souber a forma de S.
A) Se S é o gráfico de uma função z=f(x,y) perto de (0,0,0):
  • Um plano tangente em (0,0,0) existe se f for diferenciável em (0,0).
  • Definição de diferenciabilidade (explicada devagar): dizemos que f é diferenciável em (0,0) se existem números a e b tais que, para (h,k) pequenos,
f(h,k)=f(0,0)+a h + b k + o\big(\|(h,k)\|\big),
onde \|(h,k)\|=\sqrt{h^2+k^2} e o(\|(h,k)\|) significa uma função que, dividida por \|(h,k)\|, tende a 0 quando (h,k)\to(0,0).
  • Se essa igualdade vale, o plano tangente é
z = f(0,0) + a(x-0) + b(y-0).
  • Observação importante: a existência das derivadas parciais \partial f/\partial x(0,0) e \partial f/\partial y(0,0) NÃO garante por si só diferenciabilidade; é necessária a propriedade linearizante acima (o termo de erro tem que ser pequeno comparado a \|(h,k)\|).
B) Se S é dada implicitamente por F(x,y,z)=0:
  • Se \nabla F(0,0,0)\neq \mathbf{0} (ou seja, pelo menos uma das derivadas parciais de F em (0,0,0) é não nula), então por um teorema (teorema da função implícita) existe uma superfície regular e o plano tangente é dado por
\nabla F(0,0,0)\cdot (x-0,y-0,z-0)=0.
  • Se \nabla F(0,0,0)=\mathbf{0} temos um ponto singular; aí o teorema não garante plano tangente e muitas vezes não existe plano tangente único (pode ser ponto de cúspide, nó, etc.).
C) Se S é parametrizada por \mathbf{r}(u,v):
  • Um plano tangente em \mathbf{r}(u_0,v_0) existe se as derivadas parciais \mathbf{r}_u(u_0,v_0) e \mathbf{r}_v(u_0,v_0) existirem e forem linearmente independentes; então o plano tangente é o plano que contém esses vetores (vetor normal \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v).
  • Se \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v são dependentes ou não existem, geralmente não há plano tangente bem definido.

Passo 3

Um teste prático quando S é o gráfico z=f(x,y): usar derivadas direcionais.
  • Definição de derivada direcional em direção unitária \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f(0,0)=\lim_{t\to 0}\frac{f(t\mathbf{u})-f(0,0)}{t},
quando esse limite existe.
  • Se f for diferenciável em (0,0) com gradiente \nabla f(0,0)=(a,b), então para toda direção unitária \mathbf{u} vale
D_{\mathbf{u}}f(0,0)=\nabla f(0,0)\cdot\mathbf{u}=a u_1 + b u_2.
Isto quer dizer que os derivadas direcionais variam linearmente com a direção \mathbf{u}: elas devem ser justamente o produto escalar da mesma constante \nabla f(0,0) pelo vetor direção.
  • Consequência prática (teste): se se consegue mostrar que as derivadas direcionais em (0,0) dependem da direção de uma forma que NÃO é linear em \mathbf{u} (isto é, não existe um vetor (a,b) tal que D_{\mathbf{u}}f(0,0)=a u_1 + b u_2 para todas as direções \mathbf{u}), então f não é diferenciável em (0,0) e, portanto, o gráfico S não admite plano tangente em (0,0,0).

Passo 4

Exemplo didático (muito usado em provas) que ilustra a ideia e serve como “receita de prova”: a superfície cônica
z=f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}.
Mostro passo a passo por que não há plano tangente em (0,0,0).
  1. Calcular a derivada direcional na direção unitária \mathbf{u}=(\cos\theta,\sin\theta):
D_{\mathbf{u}}f(0,0)=\lim_{t\to 0}\frac{f(t\cos\theta,t\sin\theta)-f(0,0)}{t} =\lim_{t\to 0}\frac{\sqrt{t^2\cos^2\theta+t^2\sin^2\theta}}{t} =\lim_{t\to 0}\frac{|t|}{t}=1.
Aqui usei que para t aproximando 0 por valores positivos o quociente é 1; tomando a definição padrão de derivada direcional como limite por t\to 0^+ ou considerando direções unitárias dirigidas para fora, o resultado é 1 (o argumento pode ser afinado para evitar ambiguidade de sinal, o ponto principal é que o valor absoluto sobre t tende a 1 quando se toma t>0). O importante é que o valor da derivada direcional em qualquer direção unitária é constante igual a 1.
  1. Se f fosse diferenciável em (0,0), existiria \nabla f(0,0)=(a,b) tal que para toda direção unitária \mathbf{u} teríamos D_{\mathbf{u}}f(0,0)=a\cos\theta+b\sin\theta. Isso daria uma função dependente de \theta do tipo a\cos\theta+b\sin\theta.
  2. Mas do cálculo acima obtemos D_{\mathbf{u}}f(0,0)=1 para todo \theta. Não existe a,b que satisfaçam
a\cos\theta+b\sin\theta=1\quad\text{para todos os }\theta,
porque se assim fosse ao somar as igualdades para \theta e \theta+\pi obteríamos 1+1 = 1 + (-1), uma contradição (ou simplesmente, uma função do tipo a\cos\theta+b\sin\theta varia com \theta, enquanto a constante 1 não varia).
  1. Logo f não é diferenciável em (0,0) e o gráfico z=\sqrt{x^2+y^2} não admite plano tangente em (0,0,0).
Este é um modelo de prova que você pode tentar reproduzir se a sua superfície S for semelhante a um cone ou tiver comportamento radial.

Passo 5

Outro exemplo simples (útil para provas rápidas): z=f(x,y)=|x|. Em (0,0) (isto é, na origem no plano xy) as derivadas direcionais ao longo de (1,0) e (-1,0) são 1 e -1 respectivamente, logo não existe um vetor gradiente (a,b) dando ambos os valores (porque a\cdot 1 =1 e a\cdot(-1)=-1 implicariam a=1 e a=-1 simultaneamente). Assim f não é diferenciável em (0,0) e o gráfico não tem plano tangente na origem.

Passo 6

Conclusão aplicada ao enunciado que você deu: com a informação enviada não há como justificar rigorosamente que a superfície S de (2a) não admite plano tangente em (0,0,0), porque a definição/expression de S (equação, forma implícita ou parametrização) não foi fornecida.
O que eu fiz aqui foi:
  • explicar exatamente quais dados são necessários para provar que não existe plano tangente;
  • dar o critério e a definição precisa de diferenciabilidade (caso de gráfico z=f(x,y));
  • mostrar o teste prático das derivadas direcionais;
  • mostrar dois exemplos completos (cone e z=|x|) que ilustram o tipo de raciocínio que você deve usar na prova.
Se a superfície S de (2a) for fornecida, aplique o teste indicado (calcular derivadas direcionais ou verificar \nabla F ou \mathbf{r}_u,\mathbf{r}_v, conforme o caso) para concluir que não existe plano tangente. Sem a expressão de S não é possível produzir a justificativa pedida.

Resposta

Não é possível justificar porque a superfície S em (2a) não foi fornecida; é necessário saber a equação, a forma implícita ou a parametrização de S para verificar a diferenciabilidade no ponto (0,0,0) e assim concluir sobre a existência (ou não) do plano tangente.

Exercícios relacionados