( 1,0 ponto) justifique porque a superfície
em (2a) não adminte plano tangente no ponto (
)
Passo 1
O enunciado pede: justificar por que a superfície
em (2a) não admite plano tangente no ponto
.
Informações fornecidas pelo enunciado que recebi:
- Apenas a afirmação de que existe uma superfície chamada
mencionada em “(2a)”. - O ponto em questão é
.
Informação que falta (ou seja, o que não foi fornecido e que é necessário para resolver a questão):
- A equação explícita de
(por exemplo ), ou - Uma descrição implícita
, ou - Uma parametrização
de , ou - Uma figura/diagrama que explique o comportamento de
perto de .
Passo 2
O que normalmente é preciso apresentar para justificar que uma superfície não admite plano tangente num ponto.
Vou listar as condições típicas e as formas que uma prova pode tomar, dependendo de como
for dada. Isto serve como um “manual” para você aplicar ao caso concreto assim que souber a forma de
.
A) Se
é o gráfico de uma função
perto de
:
- Um plano tangente em
existe se for diferenciável em . - Definição de diferenciabilidade (explicada devagar): dizemos que
é diferenciável em se existem números e tais que, para pequenos,
onde
e
significa uma função que, dividida por
, tende a
quando
.
- Se essa igualdade vale, o plano tangente é
- Observação importante: a existência das derivadas parciais
e NÃO garante por si só diferenciabilidade; é necessária a propriedade linearizante acima (o termo de erro tem que ser pequeno comparado a ).
B) Se
é dada implicitamente por
:
- Se
(ou seja, pelo menos uma das derivadas parciais de em é não nula), então por um teorema (teorema da função implícita) existe uma superfície regular e o plano tangente é dado por
- Se
temos um ponto singular; aí o teorema não garante plano tangente e muitas vezes não existe plano tangente único (pode ser ponto de cúspide, nó, etc.).
C) Se
é parametrizada por
:
- Um plano tangente em
existe se as derivadas parciais e existirem e forem linearmente independentes; então o plano tangente é o plano que contém esses vetores (vetor normal ). - Se
e são dependentes ou não existem, geralmente não há plano tangente bem definido.
Passo 3
Um teste prático quando
é o gráfico
: usar derivadas direcionais.
- Definição de derivada direcional em direção unitária
:
quando esse limite existe.
- Se
for diferenciável em com gradiente , então para toda direção unitária vale
Isto quer dizer que os derivadas direcionais variam linearmente com a direção
: elas devem ser justamente o produto escalar da mesma constante
pelo vetor direção.
- Consequência prática (teste): se se consegue mostrar que as derivadas direcionais em
dependem da direção de uma forma que NÃO é linear em (isto é, não existe um vetor tal que para todas as direções ), então não é diferenciável em e, portanto, o gráfico não admite plano tangente em .
Passo 4
Exemplo didático (muito usado em provas) que ilustra a ideia e serve como “receita de prova”: a superfície cônica
Mostro passo a passo por que não há plano tangente em
.
- Calcular a derivada direcional na direção unitária
:
Aqui usei que para
aproximando 0 por valores positivos o quociente é
; tomando a definição padrão de derivada direcional como limite por
ou considerando direções unitárias dirigidas para fora, o resultado é
(o argumento pode ser afinado para evitar ambiguidade de sinal, o ponto principal é que o valor absoluto sobre
tende a
quando se toma
). O importante é que o valor da derivada direcional em qualquer direção unitária é constante igual a
.
-
Se
fosse diferenciável em , existiria tal que para toda direção unitária teríamos . Isso daria uma função dependente de do tipo . -
Mas do cálculo acima obtemos
para todo . Não existe que satisfaçam
porque se assim fosse ao somar as igualdades para
e
obteríamos
, uma contradição (ou simplesmente, uma função do tipo
varia com
, enquanto a constante
não varia).
- Logo
não é diferenciável em e o gráfico não admite plano tangente em .
Este é um modelo de prova que você pode tentar reproduzir se a sua superfície
for semelhante a um cone ou tiver comportamento radial.
Passo 5
Outro exemplo simples (útil para provas rápidas):
. Em
(isto é, na origem no plano
) as derivadas direcionais ao longo de
e
são
e
respectivamente, logo não existe um vetor gradiente
dando ambos os valores (porque
e
implicariam
e
simultaneamente). Assim
não é diferenciável em
e o gráfico não tem plano tangente na origem.
Passo 6
Conclusão aplicada ao enunciado que você deu: com a informação enviada não há como justificar rigorosamente que a superfície
de (2a) não admite plano tangente em
, porque a definição/expression de
(equação, forma implícita ou parametrização) não foi fornecida.
O que eu fiz aqui foi:
- explicar exatamente quais dados são necessários para provar que não existe plano tangente;
- dar o critério e a definição precisa de diferenciabilidade (caso de gráfico
); - mostrar o teste prático das derivadas direcionais;
- mostrar dois exemplos completos (cone e
) que ilustram o tipo de raciocínio que você deve usar na prova.
Se a superfície
de (2a) for fornecida, aplique o teste indicado (calcular derivadas direcionais ou verificar
ou
, conforme o caso) para concluir que não existe plano tangente. Sem a expressão de
não é possível produzir a justificativa pedida.
Resposta
Não é possível justificar porque a superfície
em (2a) não foi fornecida; é necessário saber a equação, a forma implícita ou a parametrização de
para verificar a diferenciabilidade no ponto
e assim concluir sobre a existência (ou não) do plano tangente.