Dado que
lim x 2 f(x)=4 lim x 2 g(x)=-2 lim x 2 h(x)=0
encontre, se existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.
lim x 2 g(x)h(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta nos dá alguns limites de funções quando x se aproxima de 2 e pede para encontrar o limite de g(x)h(x) nessa mesma condição. Vamos precisar usar conceitos de limites e entender como eles funcionam quando o denominador tende a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o limite de uma fração g(x)h(x) quando x se aproxima de um valor é encontrado dividindo os limites das funções g(x) e h(x) , desde que o limite do denominador não seja zero. Ou seja:
limx to a g(x)h(x) = limx to a g(x)limx to a h(x)

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso caso. Sabemos que:
limx to 2 g(x) = -2 e limx to 2 h(x) = 0
Então, se substituirmos na fórmula:
limx to 2 g(x)h(x) = -20

Passo 4

Aqui, encontramos um problema. Dividir um número diferente de zero por zero não é possível nos números reais. Isso significa que a fração g(x)h(x) está se aproximando de uma forma indefinida.

Passo 5

Quando o denominador tende a zero e o numerador tende a um valor diferente de zero, o limite geralmente tende para infinito ou menos infinito, dependendo dos sinais. Neste caso, como g(x) tende a -2 (um número negativo) e h(x) tende a 0, o limite tende a -infty .

Resposta

O limite limx to 2 g(x)h(x) tende a menos infinito, ou seja, -infty .

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