Resolva os sistemas de equações diferenciais abaixo.
ld xd t=-5 x-y d yd t=4 x-y x(1)=0, y(1)=1

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear de coeficientes constantes
dfracdxdt = -5x - y, dfracdydt = 4x - y,
com condições iniciais x(1)=0, y(1)=1.
O objetivo é usar álgebra linear (autovalores e autovetores) e, por ter autovalor de multiplicidade 2 com apenas um autovetor, recorrer à forma de Jordan para escrever a solução geral.

Passo 2

Escrevendo em forma matricial X' = AX, com
A = -5 & -1 [6pt] 4 & -1,
o polinômio característico é
det(A - lambda I) = (-5-lambda)(-1-lambda) - (-1)cdot4 = lambda^2 +6lambda +9 = 0,
cuja única raiz é lambda = -3 (multiplicidade algébrica 2).]

Passo 3

Para lambda=-3 resolvemos (A+3I)v=0:
(A+3I)=-2 & -1[3pt]4 & 2, v=1-2
Só há esse autovetor, então buscamos um vetor generalizado w tal que (A+3I)w=v.
Escolhendo w=(0,,-1)^T satisfaz a equação, pois
(A+3I)0-1 =1-2=v ]

Passo 4

Como há só um autovetor, a solução geral usa a cadeia de Jordan. Para simplificar as condições iniciais em t=1, definimos s=t-1. Então
X(s)=e^-3sl(C1,v + C2,(s,v + w)r)
Aqui X(s)=(x(t),y(t))^T com s=t-1.

Passo 5

Em
dando .

Passo 6

Substituindo C1=0 e C2=-1 em X(s) e voltando a t,
X(s) = -,e^-3sl(s,v + wr) = -,e^-3ss-2s-1, s=t-1
Logo
x(t) = -,(t-1),e^-3(t-1), y(t) = l(2(t-1)+1r),e^-3(t-1) = (2t-1)e^-3(t-1)

Resposta

x(t) = -,(t-1),e^-3(t-1), y(t) = (2t-1),e^-3(t-1)

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