Dado o espaço vetorial V com o produto interno canônico. Determine o complemento ortogonal dos seguintes subespaços vetoriais:
(b) V=M(2,2, \mathbb{R}) e W=\left\{\left.\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] \in M(2,2, \mathbb{R}) \right\rvert\, a-b=4 d, c=0\right\}

Passo 1

O enunciado está em um espaço vetorial V=M(2,2,\mathbb{R}) com o produto interno canônico
\langle A,B\rangle=\mathrm{tr}(A^T B),
e o subespaço
W=\Bigl\{\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\in M(2,2,\mathbb{R})\Bigm|a-b=4d,\;c=0\Bigr\}.
Queremos determinar
W^\perp=\{M\in M(2,2,\mathbb{R})\mid\langle M,N\rangle=0\;\forall N\in W\}.

Passo 2

Seja
M=\begin{pmatrix}x&y\z&w\end{pmatrix}, \quad N=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\in W.
Pelo produto interno canônico,
\langle M,N\rangle =\mathrm{tr}(M^TN) =x\,a + y\,b + z\,c + w\,d.

Passo 3

Como N\in W, temos as restrições
c=0, \quad a-b=4d\quad\Longrightarrow\quad a=b+4d.
Logo qualquer N\in W pode ser escrito com parâmetros livres b,d como
a=b+4d,\quad b=b,\quad c=0,\quad d=d.

Passo 4

Substituindo em \langle M,N\rangle=0,
\langle M,N\rangle = x(b+4d)+y\,b + z\cdot0 + w\,d = b\,(x+y) + d\,(4x+w).
Para valer para todo b,d\in\mathbb{R}, precisamos de
x+y=0, \quad 4x+w=0.
Não há condição sobre z.

Passo 5

As equações
y=-x, \quad w=-4x, \quad z\;\text{livre}
descrevem W^\perp. Em outras palavras,
W^\perp =\Bigl\{\begin{pmatrix}x&-x\z&-4x\end{pmatrix}\Bigm|x,z\in\mathbb{R}\Bigr\} =\mathrm{span}\Bigl\{\begin{pmatrix}1&-1\\\ 0&-4\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix}\Bigr\}.

Resposta

W^\perp =\Bigl\{\begin{pmatrix}x&-x\z&-4x\end{pmatrix}\Bigm|x,z\in\mathbb{R}\Bigr\} =\mathrm{span}\Bigl\{\begin{pmatrix}1&-1\\\ 0&-4\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix}\Bigr\}.

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