[09] Generalizando o exercício anterior, considere o espaço vetorial
.
Define-se a aplicação
Verifique que
é um produto interno.
E se a aplicação for
também seria produto interno? Justifique.
Define-se a aplicação
E se a aplicação for
Passo 1
Resumo do enunciado: estamos em
e queremos verificar se
é um produto interno, ou seja, se satisfaz bilinearidade, simetria e positividade definida. Depois, analisar se
também seria produto interno.
Passo 2
Verificação da bilinearidade e simetria de
.
- Linearidade em
: para e ,
- Simetria:
Passo 3
Verificação da positividade definida de
.
Para
Para
e
somente se todos os
, ou seja,
é a matriz zero. Logo, é definido positivo.
Passo 4
Análise da aplicação
.
Observação chave:
Observação chave:
Logo, esta aplicação coincide com a anterior e, portanto, satisfaz os mesmos axiomas de bilinearidade, simetria e positividade definida.
Resposta
Em ambos os casos —
e
— temos um produto interno em
.