[09] Generalizando o exercício anterior, considere o espaço vetorial M(m, n, \mathbb{R}).
Define-se a aplicação
\langle A, B\rangle=\operatorname{tr}\left(A^{t} B\right), \quad \forall A, B \in M(m, n, \mathbb{R})
Verifique que \langle\cdot, \cdot\rangle é um produto interno.
E se a aplicação for
\langle A, B\rangle=\operatorname{tr}\left(A B^{t}\right), \quad \forall A, B \in M(m, n, \mathbb{R})
também seria produto interno? Justifique.

Passo 1

Resumo do enunciado: estamos em M(m,n,\mathbb{R}) e queremos verificar se
\langle A,B\rangle=\operatorname{tr}\!\bigl(A^tB\bigr)
é um produto interno, ou seja, se satisfaz bilinearidade, simetria e positividade definida. Depois, analisar se
\langle A,B\rangle=\operatorname{tr}\!\bigl(AB^t\bigr)
também seria produto interno.

Passo 2

Verificação da bilinearidade e simetria de \langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(A^tB).
  1. Linearidade em A: para A_1,A_2,B\in M(m,n,\mathbb{R}) e c\in\mathbb{R},
\langle A_1+A_2,B\rangle = \operatorname{tr}\bigl((A_1+A_2)^tB\bigr) =\operatorname{tr}(A_1^tB)+\operatorname{tr}(A_2^tB) =\langle A_1,B\rangle+\langle A_2,B\rangle,
\langle cA_1,B\rangle = \operatorname{tr}\bigl((cA_1)^tB\bigr) = c\,\operatorname{tr}(A_1^tB) = c\,\langle A_1,B\rangle.
  1. Simetria:
\langle B,A\rangle = \operatorname{tr}(B^tA) =\operatorname{tr}\bigl((A^tB)^t\bigr) =\operatorname{tr}(A^tB) =\langle A,B\rangle.

Passo 3

Verificação da positividade definida de \langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(A^tB).
Para A\in M(m,n,\mathbb{R})
\langle A,A\rangle = \operatorname{tr}(A^tA) =\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^m (A^tA)_{ii} =\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^m A_{ki}^2 \ge 0,
e \langle A,A\rangle=0 somente se todos os A_{ki}=0, ou seja, A é a matriz zero. Logo, é definido positivo.

Passo 4

Análise da aplicação \langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(AB^t).
Observação chave:
\operatorname{tr}(AB^t) =\operatorname{tr}\bigl((AB^t)^t\bigr) =\operatorname{tr}(B\,A^t) =\operatorname{tr}(A^tB).
Logo, esta aplicação coincide com a anterior e, portanto, satisfaz os mesmos axiomas de bilinearidade, simetria e positividade definida.

Resposta

Em ambos os casos — \langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(A^tB) e \langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(AB^t) — temos um produto interno em M(m,n,\mathbb{R}).

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