Dado o espaço vetorial V com o produto interno canônico. Determine o complemento ortogonal dos seguintes subespaços vetoriais:
(a) V=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) e W=\operatorname{ger}\left\{3+2 x-x^{2}, x+2 x^{2}\right\}

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) com o produto interno canônico, ou seja, se
p(x)=a+bx+cx^{2},\quad q(x)=a'+b'x+c'x^{2},
então
\langle p,q\rangle = aa'+bb'+cc'.
Queremos determinar
W^{\perp} = \{\,p\in V \mid \langle p,w\rangle =0\;\forall w\in W\},
onde W=\mathrm{span}\{\,3+2x-x^{2},\,x+2x^{2}\}.

Passo 2

Escrevemos as bases de W em coordenadas de coeficientes no basis \{1,x,x^{2}\}:
w_{1}(x)=3+2x-x^{2}\longleftrightarrow (3,2,-1),
w_{2}(x)=x+2x^{2}\longleftrightarrow (0,1,2).
Se p(x)=a+bx+cx^{2} estiver em W^{\perp}, deve satisfazer
\langle p,w_{1}\rangle =3a+2b -c =0,
\langle p,w_{2}\rangle =0\cdot a +1\cdot b +2\cdot c = b +2c =0.

Passo 3

Da segunda equação temos
b +2c = 0 \quad\Longrightarrow\quad b = -2c.
Substituindo na primeira:
3a +2(-2c) - c = 3a -4c -c = 3a -5c = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{5}{3}\,c.

Passo 4

Assim,
p(x)=a+bx+cx^{2} =\frac{5}{3}c +(-2c)x +c\,x^{2} =c\Bigl(\tfrac{5}{3} -2x + x^{2}\Bigr).
Para evitar frações, tomamos c=3, gerando o polinômio
5 -6x +3x^{2}.

Resposta

O complemento ortogonal é o subespaço gerado por esse polinômio, ou seja,
W^{\perp} = \mathrm{span}\{\,5 -6x +3x^{2}\}.

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