Dado o estado tensional no ponto, determinar a tensão normal e cisalhante no plano dado.
\tau=\left[\begin{array}{ccc}5 & 0 & 10 \\\\ 0 & 11 & -8 \\\\ 10 & -8 & -5\end{array}\right] Plano: x-y+2 z=5

Passo 1

O enunciado dá o tensor de tensões no ponto e pede a tensão normal e a tensão cisalhante no plano x-y+2z=5. Informações fornecidas:
\tau=\begin{pmatrix}5 & 0 & 10\\[4pt]0 & 11 & -8\\[4pt]10 & -8 & -5\end{pmatrix}
Plano: x-y+2z=5.
Do plano extraímos o vetor normal (não unitário) \mathbf{n}_0=(1,-1,2).
Objetivo: determinar (i) a tensão normal escalar \sigma_n sobre esse plano e (ii) a tensão cisalhante (magnitude) \tau_{\text{cis}} no mesmo plano.]

Passo 2

Conceitos essenciais (passo-a-passo didático e prático):
  • Stress tensor e tração: dada a matriz de tensões \tau e um plano com versor normal \hat{\mathbf{n}}, a tração (vetor de tensões) \mathbf{t} sobre o plano é
\mathbf{t}=\tau\,\hat{\mathbf{n}}.
Esse vetor \mathbf{t} representa as componentes da força por unidade de área atuando no plano, em coordenadas x,y,z.
  • Tensão normal (escalar): é a componente de \mathbf{t} ao longo do normal ao plano:
\sigma_n=\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{t}.
  • Tensão cisalhante (magnitude): é a norma da componente tangencial de \mathbf{t} ao plano, ou seja
\mathbf{t}_{\text{cis}}=\mathbf{t}-\sigma_n\,\hat{\mathbf{n}},\qquad \tau_{\text{cis}}=\|\mathbf{t}_{\text{cis}}\|.
Outra forma prática (útil em prova) é calcular \tau_{\text{cis}}=\sqrt{\|\mathbf{t}\|^2-\sigma_n^2}.
Primeiro passo prático: fazer o versor normal \hat{\mathbf{n}} a partir de \mathbf{n}_0=(1,-1,2). Cálculo da norma:
\|\mathbf{n}_0\|=\sqrt{1^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{6}.
Portanto
\hat{\mathbf{n}}=\dfrac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,2).

Passo 3

Calcular \tau\,\mathbf{n}_0 (produto da matriz pela versão não-normalizada da normal). Isso evita dividir a cada passo; depois ajustamos por \sqrt{6}.
\tau\mathbf{n}_0= \begin{pmatrix}5 & 0 & 10\\[4pt]0 & 11 & -8\\[4pt]10 & -8 & -5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Fazendo o produto linha a linha:
  • Componente x: 5\cdot1 + 0\cdot(-1) + 10\cdot2 = 5 + 0 + 20 = 25.
  • Componente y: 0\cdot1 + 11\cdot(-1) + (-8)\cdot2 = -11 -16 = -27.
  • Componente z: 10\cdot1 + (-8)\cdot(-1) + (-5)\cdot2 = 10 +8 -10 = 8.
Logo
\tau\mathbf{n}_0=(25,\,-27,\,8).]

Passo 4

Agora a tração unitária \mathbf{t}=\tau\,\hat{\mathbf{n}} obtém-se dividindo por \sqrt{6}:
\mathbf{t}=\dfrac{1}{\sqrt{6}}(25,\,-27,\,8).
Se quiser uma aproximação numérica, \sqrt{6}\approx2{,}44949 e
\mathbf{t}\approx(10{,}206,\,-11{,}020,\;3{,}266).

Passo 5

Calcular a tensão normal \sigma_n=\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{t}. Usando os vetores em forma prática:
\sigma_n=\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{t} =\dfrac{1}{\sqrt{6}}\dfrac{1}{\sqrt{6}}\big(1\cdot25 + (-1)\cdot(-27) + 2\cdot8\big) =\dfrac{1}{6}(25+27+16).
Somando os termos:
25+27+16=68,
portanto
\sigma_n=\dfrac{68}{6}=\dfrac{34}{3}\approx 11{,}333\\ (\text{unidades de tensão}).ã
Explicação rápida: fizemos o produto interno entre \hat{\mathbf{n}} e \mathbf{t}, que dá exatamente a componente normal de \mathbf{t}.

Passo 6

Agora obtém-se o vetor de tensão cisalhante \mathbf{t}_{\text{cis}}=\mathbf{t}-\sigma_n\hat{\mathbf{n}}. Trabalhando na forma que elimina a raiz:
\mathbf{t}_{\text{cis}}=\dfrac{1}{\sqrt{6}}\Big[(25,-27,8)-\dfrac{34}{3}(1,-1,2)\Big].
Calcule primeiro o vetor interior:
(25,-27,8)-\dfrac{34}{3}(1,-1,2)=\left(25-\dfrac{34}{3},\,-27+\dfrac{34}{3},\,8-\dfrac{68}{3}\right).
Colocando em denominador comum 3:
\left(\dfrac{75-34}{3},\;\dfrac{-81+34}{3},\;\dfrac{24-68}{3}\right) =\left(\dfrac{41}{3},\;-\dfrac{47}{3},\;-\dfrac{44}{3}\right).
Logo
\mathbf{t}_{\text{cis}}=\dfrac{1}{3\sqrt{6}}(41,\,-47,\,-44).

Passo 7

Magnitude da tensão cisalhante:
\tau_{\text{cis}}=\|\mathbf{t}_{\text{cis}}\| =\dfrac{1}{3\sqrt{6}}\sqrt{41^2+(-47)^2+(-44)^2}.
Calcule as somas dos quadrados:
41^2+47^2+44^2=1681+2209+1936=5826.
Observe que 5826=6\cdot971, então
\tau_{\text{cis}}=\dfrac{1}{3\sqrt{6}}\sqrt{6\cdot971}=\dfrac{\sqrt{971}}{3}.
Essa é uma forma exata simples. Valor aproximado:
\tau_{\text{cis}}\approx \dfrac{\sqrt{971}}{3}\approx 10{,}382\\ (\text{unidades de tensão}).ã

Passo 8

Resumo das quantidades obtidas (útil para decorar o procedimento em prova):
  • Versor normal: \hat{\mathbf{n}}=\dfrac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,2).
  • Tração no plano: \mathbf{t}=\dfrac{1}{\sqrt{6}}(25,-27,8).
  • Tensão normal (componente de \mathbf{t} ao longo do normal): \sigma_n=\dfrac{34}{3}.
  • Tensão cisalhante (magnitude da componente tangencial): \tau_{\text{cis}}=\dfrac{\sqrt{971}}{3}.
Dica prática para prova: os passos que se repetem sempre são (1) extrair \mathbf{n}_0 dos coeficientes do plano, (2) normalizar para obter \hat{\mathbf{n}}, (3) calcular \mathbf{t}=\tau\hat{\mathbf{n}}, (4) \sigma_n=\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{t}, (5) \tau_{\text{cis}}=\sqrt{\|\mathbf{t}\|^2-\sigma_n^2}. Isso evita cálculos vetoriais longos se você só precisa da magnitude cisalhante.

Resposta

\sigma_n=\dfrac{34}{3}\approx 11{,}333 \
\tau_{\text{cis}}=\dfrac{\sqrt{971}}{3}\approx 10{,}382

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