Dado o estado tensional no ponto, determinar a tensão normal e cisalhante no plano dado. \tau=\left[\begin{array}{ccc}5 & 0 & 10 \\\\ 0 & 11 & -8 \\\\ 10 & -8 & -5\end{array}\right] Plano: x-y+2 z=5
Passo 1
O enunciado dá o tensor de tensões no ponto e pede a tensão normal e a tensão cisalhante no plano x-y+2z=5. Informações fornecidas:
Plano: x-y+2z=5.
Do plano extraímos o vetor normal (não unitário) \mathbf{n}_0=(1,-1,2).
Objetivo: determinar (i) a tensão normal escalar \sigma_n sobre esse plano e (ii) a tensão cisalhante (magnitude) \tau_{\text{cis}} no mesmo plano.]
Passo 2
Conceitos essenciais (passo-a-passo didático e prático):
Stress tensor e tração: dada a matriz de tensões \tau e um plano com versor normal \hat{\mathbf{n}}, a tração (vetor de tensões) \mathbf{t} sobre o plano é
\mathbf{t}=\tau\,\hat{\mathbf{n}}.
Esse vetor \mathbf{t} representa as componentes da força por unidade de área atuando no plano, em coordenadas x,y,z.
Tensão normal (escalar): é a componente de \mathbf{t} ao longo do normal ao plano:
\sigma_n=\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{t}.
Tensão cisalhante (magnitude): é a norma da componente tangencial de \mathbf{t} ao plano, ou seja
Tração no plano: \mathbf{t}=\dfrac{1}{\sqrt{6}}(25,-27,8).
Tensão normal (componente de \mathbf{t} ao longo do normal): \sigma_n=\dfrac{34}{3}.
Tensão cisalhante (magnitude da componente tangencial): \tau_{\text{cis}}=\dfrac{\sqrt{971}}{3}.
Dica prática para prova: os passos que se repetem sempre são (1) extrair \mathbf{n}_0 dos coeficientes do plano, (2) normalizar para obter \hat{\mathbf{n}}, (3) calcular \mathbf{t}=\tau\hat{\mathbf{n}}, (4) \sigma_n=\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{t}, (5) \tau_{\text{cis}}=\sqrt{\|\mathbf{t}\|^2-\sigma_n^2}. Isso evita cálculos vetoriais longos se você só precisa da magnitude cisalhante.