Mostre que a grandeza
é um invariante da matriz de tensões.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a grandeza
é um invariante da matriz de tensões.
Informações relevantes dadas (explícitas ou implícitas):
;Existe uma matriz de tensões simétrica
com componentes
(onde as componentes normais na base escolhida são tipicamente
, que o enunciado chama
).
;Quando mudamos de sistema de eixos por uma rotação ortonormal
(matriz de mudança de base ortogonal), a matriz de tensões transforma-se pela regra padrão de tensores de segunda ordem:
Informações relevantes dadas (explícitas ou implícitas):
A pergunta é: provar que a soma das componentes normais
permanece a mesma depois da transformação (ou seja, é invariante).
Passo 2
Vou explicar a lei de transformação e o que significa “ortonormal” de maneira bem clara.
Quando escrevo , isso significa em componentes (usando soma de índices):
Quando escrevo
onde os índices
variam em
. Aqui cada
é o elemento da linha
e coluna
da matriz
.
Propriedade importante da matriz por ser ortonormal (rotação):
Propriedade importante da matriz
o que em componentes dá
onde
é o delta de Kronecker (
se
e
caso contrário). Vou usar essas propriedades para simplificar somas.
Passo 3
Definição de traço (soma das componentes normais): para qualquer matriz
,
No nosso caso a soma
é exatamente a traço da matriz de tensões:
Queremos mostrar que
.
Passo 4
Cálculo direto em componentes (método índice), explicando cada etapa. Começamos com a definição da traço da matriz transformada:
Substituindo a expressão de
temos
onde há soma sobre
. Agora podemos agrupar os dois
que têm índice
:
Mas, por ortonormalidade de
, a soma sobre
do produto
é o delta de Kronecker:
Portanto a soma sobre
dá
E
é exatamente a soma das componentes diagonais de
:
Concluímos:
Passo 5
Uma outra maneira, talvez mais curta e muito útil para a prova, usa a propriedade cíclica da traço: para matrizes quadradas quaisquer
vale
. Usando isso:
Aqui usei que
. Essa é uma prova curta e elegante que costuma cair bem na prova.
Passo 6
Interpretação física e dica de prova na hora da prova: a soma das tensões normais é um invariante de primeira ordem (primeiro invariante) do tensor de tensões — isso significa que, qualquer que seja a orientação dos eixos, a soma das componentes normais permanece igual. Na prática, para provar isso em uma questão você pode escolher entre (a) provar com índices como em Passo 4 (mais “elementar”, mostra limpeza nos somatórios) ou (b) usar a propriedade de traço cíclico e ortogonalidade de
como em Passo 5 (mais curto). Ambas as abordagens são aceitas e rápidas.