Mostre que a grandeza \sigma_{x}+\sigma_{y}+\sigma_{z} é um invariante da matriz de tensões.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a grandeza \sigma_{x}+\sigma_{y}+\sigma_{z} é um invariante da matriz de tensões.
Informações relevantes dadas (explícitas ou implícitas):
\;1.;Existe uma matriz de tensões simétrica \boldsymbol{\sigma} com componentes \sigma_{ij} (onde as componentes normais na base escolhida são tipicamente \sigma_{xx},\sigma_{yy},\sigma_{zz}, que o enunciado chama \sigma_{x},\sigma_{y},\sigma_{z}).
\;2.;Quando mudamos de sistema de eixos por uma rotação ortonormal R (matriz de mudança de base ortogonal), a matriz de tensões transforma-se pela regra padrão de tensores de segunda ordem:
\boldsymbol{\sigma}' = R\,\boldsymbol{\sigma}\,R^{T}.
A pergunta é: provar que a soma das componentes normais \sigma_{x}+\sigma_{y}+\sigma_{z} permanece a mesma depois da transformação (ou seja, é invariante).

Passo 2

Vou explicar a lei de transformação e o que significa “ortonormal” de maneira bem clara.
Quando escrevo \boldsymbol{\sigma}' = R\,\boldsymbol{\sigma}\,R^{T}, isso significa em componentes (usando soma de índices):
\sigma'_{ij} = R_{ik}\,\sigma_{kl}\,R_{jl},
onde os índices i,j,k,l variam em \{1,2,3\}. Aqui cada R_{ik} é o elemento da linha i e coluna k da matriz R.
Propriedade importante da matriz R por ser ortonormal (rotação):
R^{T}R = RR^{T} = I,
o que em componentes dá
R_{ik}R_{jk} = \delta_{ij}\quad\text{e}\quad R_{ki}R_{kj} = \delta_{ij},
onde \delta_{ij} é o delta de Kronecker ( \delta_{ij}=1 se i=j e 0 caso contrário). Vou usar essas propriedades para simplificar somas.

Passo 3

Definição de traço (soma das componentes normais): para qualquer matriz \boldsymbol{A},
\mathrm{tr}(\boldsymbol{A})=\sum_{i=1}^{3}A_{ii}=A_{11}+A_{22}+A_{33}.
No nosso caso a soma \sigma_{x}+\sigma_{y}+\sigma_{z} é exatamente a traço da matriz de tensões:
\sigma_{x}+\sigma_{y}+\sigma_{z}=\mathrm{tr}(\boldsymbol{\sigma})=\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}.
Queremos mostrar que \mathrm{tr}(\boldsymbol{\sigma}')=\mathrm{tr}(\boldsymbol{\sigma}).

Passo 4

Cálculo direto em componentes (método índice), explicando cada etapa. Começamos com a definição da traço da matriz transformada:
\mathrm{tr}(\boldsymbol{\sigma}')=\sigma'_{ii}=\sum_{i=1}^{3}\sigma'_{ii}.
Substituindo a expressão de \sigma'_{ij} temos
\sigma'_{ii} = R_{ik}\,\sigma_{kl}\,R_{il},
onde há soma sobre i,k,l. Agora podemos agrupar os dois R que têm índice i:
\sigma'_{ii} = \sigma_{kl}\,(R_{ik}R_{il}).
Mas, por ortonormalidade de R, a soma sobre i do produto R_{ik}R_{il} é o delta de Kronecker:
\sum_{i=1}^{3}R_{ik}R_{il}=\delta_{kl}.
Portanto a soma sobre i
\mathrm{tr}(\boldsymbol{\sigma}')=\sigma_{kl}\,\delta_{kl}.
E \sigma_{kl}\delta_{kl} é exatamente a soma das componentes diagonais de \boldsymbol{\sigma}:
\sigma_{kl}\,\delta_{kl}=\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}=\mathrm{tr}(\boldsymbol{\sigma}).
Concluímos:
\mathrm{tr}(\boldsymbol{\sigma}')=\mathrm{tr}(\boldsymbol{\sigma}).

Passo 5

Uma outra maneira, talvez mais curta e muito útil para a prova, usa a propriedade cíclica da traço: para matrizes quadradas quaisquer \boldsymbol{A},\boldsymbol{B} vale \mathrm{tr}(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})=\mathrm{tr}(\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}). Usando isso:
\mathrm{tr}(\boldsymbol{\sigma}')=\mathrm{tr}(R\,\boldsymbol{\sigma}\,R^{T})=\mathrm{tr}(R^{T}R\,\boldsymbol{\sigma})=\mathrm{tr}(I\,\boldsymbol{\sigma})=\mathrm{tr}(\boldsymbol{\sigma}).
Aqui usei que R^{T}R=I. Essa é uma prova curta e elegante que costuma cair bem na prova.

Passo 6

Interpretação física e dica de prova na hora da prova: a soma das tensões normais é um invariante de primeira ordem (primeiro invariante) do tensor de tensões — isso significa que, qualquer que seja a orientação dos eixos, a soma das componentes normais permanece igual. Na prática, para provar isso em uma questão você pode escolher entre (a) provar com índices como em Passo 4 (mais “elementar”, mostra limpeza nos somatórios) ou (b) usar a propriedade de traço cíclico e ortogonalidade de R como em Passo 5 (mais curto). Ambas as abordagens são aceitas e rápidas.

Resposta

\mathrm{tr}(\boldsymbol{\sigma}')=\mathrm{tr}(\boldsymbol{\sigma}), ou seja, \sigma_{x}+\sigma_{y}+\sigma_{z} é invariante da matriz de tensões.

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