Dado \sigma_{x}=4, \sigma_{y}=2, \sigma_{z}=-2, \tau_{x y}=3, \tau_{x z}=-2 e \tau_{y z}=8. Calcule o vetor tensão nos planos de normal (2 / 3,2 / 3,1 / 3) e (1 / \sqrt{14}, 3 / \sqrt{14}, 2 / \sqrt{14}) e as suas componentes normal e cisalhante.
Passo 1
O que o enunciado pede:
Calcular o vetor tensão (vetor tração) no plano de normal \left(\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\right).
Calcular o vetor tensão (vetor tração) no plano de normal \left(\tfrac{1}{\sqrt{14}},\tfrac{3}{\sqrt{14}},\tfrac{2}{\sqrt{14}}\right).
Para cada um desses planos, obter a componente normal (tensão normal) e a componente cisalhante (vetor cisalhante e sua magnitude).
Informações dadas (vou listar exatamente os valores fornecidos): \sigma_{x}=4, \sigma_{y}=2, \sigma_{z}=-2, \tau_{xy}=3, \tau_{xz}=-2 e \tau_{yz}=8.
Observação importante: os dados acima definem o tensor de tensões cartesiano simétrico cujas entradas são \sigma_{xx}=\sigma_x, \sigma_{yy}=\sigma_y, \sigma_{zz}=\sigma_z, \sigma_{xy}=\sigma_{yx}=\tau_{xy}, \sigma_{xz}=\sigma_{zx}=\tau_{xz}, \sigma_{yz}=\sigma_{zy}=\tau_{yz}.
Passo 2
Construir o tensor de tensões (matriz 3×3). Vou escrever a matriz com as linhas/colunas x,y,z.
Explicação didática rápida: esta matriz representa como cada componente de tensão age sobre as direções x,y,z. É simétrica porque \tau_{ij}=\tau_{ji}.]
Passo 3
Recordando a fórmula para o vetor tração (vetor tensão no plano de normal \mathbf{n}):
\mathbf{t}=\boldsymbol{\sigma}\,\mathbf{n}.
Aqui \mathbf{t} é o vetor tração (tem componentes na base x,y,z), \boldsymbol{\sigma} é o tensor de tensões e \mathbf{n} é o vetor normal unitário ao plano (se o \mathbf{n} dado já for unitário, podemos usá‑lo diretamente). A componente normal (tensão normal escalar) é obtida por
\sigma_n=\mathbf{t}\cdot\mathbf{n},
e o vetor cisalhante (vetor de intensidade de cisalhamento) é
\mathbf{t}_s=\mathbf{t}-\sigma_n\,\mathbf{n},
com magnitude \tau=\|\mathbf{t}_s\|. Vou aplicar isso passo a passo para cada normal.
Passo 4
Plano 1: \mathbf{n}_1=\left(\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\right).
Primeiro calculo \mathbf{t}_1=\boldsymbol{\sigma}\,\mathbf{n}_1. Faço linha a linha:
Plano 2: \mathbf{n}_2=\left(\tfrac{1}{\sqrt{14}},\tfrac{3}{\sqrt{14}},\tfrac{2}{\sqrt{14}}\right).
Chamo s=\sqrt{14} para simplificar a escrita. Calculo \mathbf{t}_2=\boldsymbol{\sigma}\,\mathbf{n}_2 linha a linha: