Dado \sigma_{x}=4, \sigma_{y}=2, \sigma_{z}=-2, \tau_{x y}=3, \tau_{x z}=-2 e \tau_{y z}=8. Calcule o vetor tensão nos planos de normal (2 / 3,2 / 3,1 / 3) e (1 / \sqrt{14}, 3 / \sqrt{14}, 2 / \sqrt{14}) e as suas componentes normal e cisalhante.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular o vetor tensão (vetor tração) no plano de normal \left(\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\right).
  • Calcular o vetor tensão (vetor tração) no plano de normal \left(\tfrac{1}{\sqrt{14}},\tfrac{3}{\sqrt{14}},\tfrac{2}{\sqrt{14}}\right).
  • Para cada um desses planos, obter a componente normal (tensão normal) e a componente cisalhante (vetor cisalhante e sua magnitude).
Informações dadas (vou listar exatamente os valores fornecidos):
\sigma_{x}=4, \sigma_{y}=2, \sigma_{z}=-2, \tau_{xy}=3, \tau_{xz}=-2 e \tau_{yz}=8.
Observação importante: os dados acima definem o tensor de tensões cartesiano simétrico cujas entradas são \sigma_{xx}=\sigma_x, \sigma_{yy}=\sigma_y, \sigma_{zz}=\sigma_z, \sigma_{xy}=\sigma_{yx}=\tau_{xy}, \sigma_{xz}=\sigma_{zx}=\tau_{xz}, \sigma_{yz}=\sigma_{zy}=\tau_{yz}.

Passo 2

Construir o tensor de tensões (matriz 3×3). Vou escrever a matriz com as linhas/colunas x,y,z.
\boldsymbol{\sigma}= \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz}\\[4pt] \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz}\\[4pt] \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3 & -2\\[4pt] 3 & 2 & 8\\[4pt] -2 & 8 & -2 \end{pmatrix}
Explicação didática rápida: esta matriz representa como cada componente de tensão age sobre as direções x,y,z. É simétrica porque \tau_{ij}=\tau_{ji}.]

Passo 3

Recordando a fórmula para o vetor tração (vetor tensão no plano de normal \mathbf{n}):
\mathbf{t}=\boldsymbol{\sigma}\,\mathbf{n}.
Aqui \mathbf{t} é o vetor tração (tem componentes na base x,y,z), \boldsymbol{\sigma} é o tensor de tensões e \mathbf{n} é o vetor normal unitário ao plano (se o \mathbf{n} dado já for unitário, podemos usá‑lo diretamente). A componente normal (tensão normal escalar) é obtida por
\sigma_n=\mathbf{t}\cdot\mathbf{n},
e o vetor cisalhante (vetor de intensidade de cisalhamento) é
\mathbf{t}_s=\mathbf{t}-\sigma_n\,\mathbf{n},
com magnitude \tau=\|\mathbf{t}_s\|. Vou aplicar isso passo a passo para cada normal.

Passo 4

Plano 1: \mathbf{n}_1=\left(\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\right).
Primeiro calculo \mathbf{t}_1=\boldsymbol{\sigma}\,\mathbf{n}_1. Faço linha a linha:
t_{1x}=4\cdot\frac{2}{3}+3\cdot\frac{2}{3}+(-2)\cdot\frac{1}{3}=\frac{8}{3}+\frac{6}{3}-\frac{2}{3}=\frac{12}{3}=4.
t_{1y}=3\cdot\frac{2}{3}+2\cdot\frac{2}{3}+8\cdot\frac{1}{3}=\frac{6}{3}+\frac{4}{3}+\frac{8}{3}=\frac{18}{3}=6.
t_{1z}=-2\cdot\frac{2}{3}+8\cdot\frac{2}{3}+(-2)\cdot\frac{1}{3}=-\frac{4}{3}+\frac{16}{3}-\frac{2}{3}=\frac{10}{3}.
Logo,
\mathbf{t}_1=\left(4,\;6,\;\tfrac{10}{3}\right).

Passo 5

Ainda para o plano 1: calcular a componente normal escalar \sigma_{n1} e o vetor cisalhante \mathbf{t}_{s1}.
\sigma_{n1}=\mathbf{t}_1\cdot\mathbf{n}_1 =4\cdot\frac{2}{3}+6\cdot\frac{2}{3}+\frac{10}{3}\cdot\frac{1}{3} =\frac{8}{3}+\frac{12}{3}+\frac{10}{9}=\frac{70}{9}.
Agora o vetor cisalhante:
\mathbf{t}_{s1}=\mathbf{t}_1-\sigma_{n1}\,\mathbf{n}_1.
Calculo componente a componente (trabalhando em frações):
t_{s1,x}=4-\frac{70}{9}\cdot\frac{2}{3}=4-\frac{140}{27}=\frac{108-140}{27}=-\frac{32}{27}.
t_{s1,y}=6-\frac{70}{9}\cdot\frac{2}{3}=6-\frac{140}{27}=\frac{162-140}{27}=\frac{22}{27}.
t_{s1,z}=\frac{10}{3}-\frac{70}{9}\cdot\frac{1}{3}=\frac{10}{3}-\frac{70}{27}=\frac{90-70}{27}=\frac{20}{27}.
Assim
\mathbf{t}_{s1}=\left(-\frac{32}{27},\;\frac{22}{27},\;\frac{20}{27}\right).
Magnitude do cisalhamento:
\tau_1=\|\mathbf{t}_{s1}\| =\sqrt{\left(-\frac{32}{27}\right)^2+\left(\frac{22}{27}\right)^2+\left(\frac{20}{27}\right)^2} =\sqrt{\frac{1024+484+400}{729}}=\sqrt{\frac{1908}{729}}=\frac{\sqrt{212}}{9}.

Passo 6

Plano 2: \mathbf{n}_2=\left(\tfrac{1}{\sqrt{14}},\tfrac{3}{\sqrt{14}},\tfrac{2}{\sqrt{14}}\right).
Chamo s=\sqrt{14} para simplificar a escrita. Calculo \mathbf{t}_2=\boldsymbol{\sigma}\,\mathbf{n}_2 linha a linha:
t_{2x}=4\cdot\frac{1}{s}+3\cdot\frac{3}{s}+(-2)\cdot\frac{2}{s}=\frac{4+9-4}{s}=\frac{9}{s}.
t_{2y}=3\cdot\frac{1}{s}+2\cdot\frac{3}{s}+8\cdot\frac{2}{s}=\frac{3+6+16}{s}=\frac{25}{s}.
t_{2z}=-2\cdot\frac{1}{s}+8\cdot\frac{3}{s}+(-2)\cdot\frac{2}{s}=\frac{-2+24-4}{s}=\frac{18}{s}.
Logo
\mathbf{t}_2=\left(\frac{9}{s},\;\frac{25}{s},\;\frac{18}{s}\right).

Passo 7

Ainda para o plano 2: componente normal e vetor cisalhante.
A tensão normal (escala) é
\sigma_{n2}=\mathbf{t}_2\cdot\mathbf{n}_2 =\frac{9}{s}\cdot\frac{1}{s}+\frac{25}{s}\cdot\frac{3}{s}+\frac{18}{s}\cdot\frac{2}{s} =\frac{9+75+36}{s^2}=\frac{120}{14}=\frac{60}{7}.
O vetor cisalhante:
\mathbf{t}_{s2}=\mathbf{t}_2-\sigma_{n2}\,\mathbf{n}_2.
Faço a simplificação observando fator comum 1/s:
t_{s2,x}=\frac{9}{s}-\frac{60}{7}\cdot\frac{1}{s}=\frac{9-\tfrac{60}{7}}{s}=\frac{\tfrac{63-60}{7}}{s}=\frac{3}{7s}.
t_{s2,y}=\frac{25}{s}-\frac{60}{7}\cdot\frac{3}{s}=\frac{25-\tfrac{180}{7}}{s}=\frac{\tfrac{175-180}{7}}{s}=-\frac{5}{7s}.
t_{s2,z}=\frac{18}{s}-\frac{60}{7}\cdot\frac{2}{s}=\frac{18-\tfrac{120}{7}}{s}=\frac{\tfrac{126-120}{7}}{s}=\frac{6}{7s}.
Portanto
\mathbf{t}_{s2}=\left(\frac{3}{7s},\;-\frac{5}{7s},\;\frac{6}{7s}\right).
Magnitude do cisalhamento:
\tau_2=\|\mathbf{t}_{s2}\| =\frac{1}{7s}\sqrt{3^2+(-5)^2+6^2} =\frac{1}{7\sqrt{14}}\sqrt{70}.
Essa expressão simplifica porque \sqrt{70}/\sqrt{14}=\sqrt{70/14}=\sqrt{5}, então
\tau_2=\frac{\sqrt{5}}{7}.

Resposta

Plano \mathbf{n}=\left(\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\right): \mathbf{t}=\left(4,\;6,\;\tfrac{10}{3}\right), \sigma_n=\tfrac{70}{9}, \mathbf{t}_s=\left(-\tfrac{32}{27},\;\tfrac{22}{27},\;\tfrac{20}{27}\right), \tau=\tfrac{\sqrt{212}}{9}
Plano \mathbf{n}=\left(\tfrac{1}{\sqrt{14}},\tfrac{3}{\sqrt{14}},\tfrac{2}{\sqrt{14}}\right): \mathbf{t}=\left(\tfrac{9}{\sqrt{14}},\;\tfrac{25}{\sqrt{14}},\;\tfrac{18}{\sqrt{14}}\right), \sigma_n=\tfrac{60}{7}, \mathbf{t}_s=\left(\tfrac{3}{7\sqrt{14}},\;-\tfrac{5}{7\sqrt{14}},\;\tfrac{6}{7\sqrt{14}}\right), \tau=\tfrac{\sqrt{5}}{7}

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