Dado que um evento ocorreu no intervalo
seguindo um processo de Poisson, esse evento pode ocorrer com uma distribuição exponencial.
Escolha uma opção:
◯ Verdadeiro
◯ Falso
◯ Verdadeiro
◯ Falso
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta:
- Dado que um evento ocorreu no intervalo
seguindo um processo de Poisson. - Pergunta: esse evento pode ocorrer com uma distribuição exponencial? (escolher Verdadeiro ou Falso)
Passo 2
Vamos lembrar o que a frase “processo de Poisson” nos dá (de forma curta e útil para a questão). Seja
a taxa do processo e
o número de eventos em
. Então
Isto é, o número de eventos em
segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
.
Passo 3
Propriedade essencial (muito usada em provas): condicionando no número de eventos, as posições temporais desses eventos em
são, em distribuição, como as estatísticas de ordem de
observações independentes e identicamente distribuídas
. Em palavras simples: se sabe que ocorreram exatamente
eventos em
, então os tempos desses
eventos são como
pontos escolhidos aleatoriamente e independentemente no intervalo
, e ordenados quando necessário.
Passo 4
Aplicação direta do passo anterior ao caso
: se
, então o tempo daquele único evento tem distribuição uniforme no intervalo
. Ou seja, a densidade condicional do tempo
do evento, dado que exatamente um evento ocorreu, é
Logo, condicionado a "um evento ocorreu em
" no sentido de que houve exatamente um evento, o tempo desse evento NÃO é exponencial, é uniforme.
Passo 5
Para evitar confusão: existe também a noção do tempo até o primeiro evento sem condicionamento (tempo de primeiro arrivo). Esse tempo, digamos
(não condicionado), tem distribuição exponencial com parâmetro
:
Mas atenção — isso é diferente de "dado que um evento ocorreu em
". Se em vez de condicionar em
alguém condicionar apenas em "ocorreu pelo menos um evento em
" e olhar a distribuição de
restrita a
, obtém-se uma exponencial truncada:
que também NÃO é uniforme, mas é uma exponencial condicionada (ou seja, proporcional a
no intervalo). Ainda assim, a afirmação genérica do enunciado — que “dado que um evento ocorreu em
esse evento pode ocorrer com uma distribuição exponencial” — é ambígua; porém, o entendimento usual em questões assim é condicionar no fato de que houve exatamente um evento em
, caso em que a distribuição é uniforme, não exponencial.
Passo 6
Resumo didático e intuição rápida:
- Se se condiciona em
(exatamente um evento no intervalo), o tempo desse evento é . - O tempo até o primeiro evento sem condicionamento é
. - Condicionar em "houve pelo menos um evento em
" e olhar o primeiro tempo dá uma exponencial truncada, não uma exponencial livre nem uma uniforme.
Portanto, a afirmação apresentada, lida no sentido natural de “dado que houve um evento em(isto é, exatamente um), ele tem distribuição exponencial”, é falsa.
Resposta
Falso