Dado que um evento ocorreu no intervalo [0, t] seguindo um processo de Poisson, esse evento pode ocorrer com uma distribuição exponencial.
Escolha uma opção:
◯ Verdadeiro
◯ Falso

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta:
  • Dado que um evento ocorreu no intervalo [0,t] seguindo um processo de Poisson.
  • Pergunta: esse evento pode ocorrer com uma distribuição exponencial? (escolher Verdadeiro ou Falso)

Passo 2

Vamos lembrar o que a frase “processo de Poisson” nos dá (de forma curta e útil para a questão). Seja \lambda>0 a taxa do processo e N(t) o número de eventos em [0,t]. Então
\Pr\{N(t)=n\}=\frac{(\lambda t)^n}{n!}e^{-\lambda t},\qquad n=0,1,2,\dots
Isto é, o número de eventos em [0,t] segue uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda t.

Passo 3

Propriedade essencial (muito usada em provas): condicionando no número de eventos, as posições temporais desses eventos em [0,t] são, em distribuição, como as estatísticas de ordem de n observações independentes e identicamente distribuídas \operatorname{Uniform}(0,t). Em palavras simples: se sabe que ocorreram exatamente n eventos em [0,t], então os tempos desses n eventos são como n pontos escolhidos aleatoriamente e independentemente no intervalo [0,t], e ordenados quando necessário.

Passo 4

Aplicação direta do passo anterior ao caso n=1: se \,N(t)=1, então o tempo daquele único evento tem distribuição uniforme no intervalo [0,t]. Ou seja, a densidade condicional do tempo T do evento, dado que exatamente um evento ocorreu, é
f_{T\mid N(t)=1}(s)=\frac{1}{t},\qquad 0\le s\le t.
Logo, condicionado a "um evento ocorreu em [0,t]" no sentido de que houve exatamente um evento, o tempo desse evento NÃO é exponencial, é uniforme.

Passo 5

Para evitar confusão: existe também a noção do tempo até o primeiro evento sem condicionamento (tempo de primeiro arrivo). Esse tempo, digamos T_1 (não condicionado), tem distribuição exponencial com parâmetro \lambda:
f_{T_1}(s)=\lambda e^{-\lambda s},\qquad s\ge 0.
Mas atenção — isso é diferente de "dado que um evento ocorreu em [0,t]". Se em vez de condicionar em N(t)=1 alguém condicionar apenas em "ocorreu pelo menos um evento em [0,t]" e olhar a distribuição de T_1 restrita a [0,t], obtém-se uma exponencial truncada:
f_{T_1\mid T_1\le t}(s)=\frac{\lambda e^{-\lambda s}}{1-e^{-\lambda t}},\qquad 0\le s\le t,
que também NÃO é uniforme, mas é uma exponencial condicionada (ou seja, proporcional a \lambda e^{-\lambda s} no intervalo). Ainda assim, a afirmação genérica do enunciado — que “dado que um evento ocorreu em [0,t] esse evento pode ocorrer com uma distribuição exponencial” — é ambígua; porém, o entendimento usual em questões assim é condicionar no fato de que houve exatamente um evento em [0,t], caso em que a distribuição é uniforme, não exponencial.

Passo 6

Resumo didático e intuição rápida:
  • Se se condiciona em N(t)=1 (exatamente um evento no intervalo), o tempo desse evento é \operatorname{Uniform}(0,t).
  • O tempo até o primeiro evento sem condicionamento é \operatorname{Exponential}(\lambda).
  • Condicionar em "houve pelo menos um evento em [0,t]" e olhar o primeiro tempo dá uma exponencial truncada, não uma exponencial livre nem uma uniforme.
    Portanto, a afirmação apresentada, lida no sentido natural de “dado que houve um evento em [0,t] (isto é, exatamente um), ele tem distribuição exponencial”, é falsa.

Resposta

Falso

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