Em uma distribuição normal padrão estabelece-se que, aproximadamente, 95 \% dos dados estão contidos no intervalo definido por:
Escolha uma opção:
◯ a. \mu \pm 1 \sigma (Média mais ou menos um desvio-padrão)
◯ b. \mu \pm 3 \sigma (Média mais ou menos três desvios-padrão)
◯ c. \mu \pm 4 \sigma (Média mais ou menos quatro desvios-padrão)
◯ d. \mu \pm 2 \sigma (Média mais ou menos dois desvios-padrão)

Passo 1

O enunciado diz que, em uma distribuição normal padrão, aproximadamente 95\% dos dados estão contidos em um intervalo em torno da média. As opções dadas são:
a. \mu \pm 1\sigma
b. \mu \pm 3\sigma
c. \mu \pm 4\sigma
d. \mu \pm 2\sigma
A pergunta é: qual destas opções corresponde ao intervalo que contém aproximadamente 95\% dos dados?

Passo 2

Primeiro, entender o que significam os símbolos:
  • \mu é a média da distribuição (o centro).
  • \sigma é o desvio-padrão (uma medida de dispersão que diz, grosso modo, o quão espalhados os dados estão em torno da média).
Para comparar qualquer intervalo do tipo \mu \pm k\sigma usamos a padronização (transformar na variável normal padrão). Se X tem distribuição normal com média \mu e desvio \sigma, definimos a variável padronizada
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Essa variável Z tem média 0 e desvio 1. Então
P(\mu - k\sigma \le X \le \mu + k\sigma)=P(-k \le Z \le k).

Passo 3

A função de distribuição acumulada da normal padrão é denotada por \Phi(x)=P(Z\le x). Usando simetria da normal padrão:
P(-k\le Z\le k)=\Phi(k)-\Phi(-k).
Como a normal é simétrica em zero vale \Phi(-k)=1-\Phi(k). Logo
P(-k\le Z\le k)=2\Phi(k)-1.
Para k=2 (isto é, o intervalo \mu\pm 2\sigma) temos o valor tabelado
\Phi(2)\approx 0,97725.
Portanto
P(-2\le Z\le 2)=2\cdot 0,97725 - 1 = 0,9545\approx 95,45\%.
Ou seja, o intervalo \mu\pm 2\sigma contém aproximadamente 95{,}45\% dos dados — isso é o que geralmente se arredonda para \,95\%\,.

Passo 4

Resumo prático (regra empírica, que ajuda muito na prova):
  • \mu \pm 1\sigma cobre cerca de 68\% dos dados.
  • \mu \pm 2\sigma cobre cerca de 95\% dos dados.
  • \mu \pm 3\sigma cobre cerca de 99{,}7\% dos dados.
Isso facilita decidir rápido nas alternativas quando pedem porcentagens aproximadas.

Resposta

d. \mu \pm 2 \sigma

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