Um supermercado vai fazer uma promoção em que o milésimo cliente ganha uma feira de
1.000,00$ reais. Considere que os clientes chegam ao supermercado de acordo com um processo de Poisson a uma taxa de 15 clientes por minuto no dia da promoção. Quanto tempo você esperaria para entrar no supermercado e tentar ganhar o prêmio após a abertura do mesmo?
Dê sua resposta em minutos com uma casa decimal.
Resposta: □
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
- A promoção dá o prêmio ao milésimo cliente (ou seja, queremos chegar ao cliente número
,). - Os clientes chegam segundo um processo de Poisson com taxa de
\ clientes por minuto. - Pergunta: quanto tempo esperar, em minutos, após a abertura para entrar e tentar ser o milésimo cliente? Resposta pedida com uma casa decimal.
Passo 2
Entendendo a chegada de clientes passo a passo (conceito importante): num processo de Poisson com taxa
(aqui
clientes/minuto), os tempos entre chegadas consecutivas são variáveis aleatórias independentes com distribuição exponencial de parâmetro
.
Isso significa que cada intervalo entre clientes, que chamamos de
, satisfaz:
e a esperança (valor médio) de cada intervalo é
Breve intuição: em média chega um cliente a cada
minutos; para
isso dá, em média,
minuto entre clientes.
Passo 3
Tempo até o
-ésimo cliente (aqui
): o instante do
-ésimo evento num processo de Poisson é a soma dos primeiros
intervalos:
Como a esperança da soma é a soma das esperanças (as
são independentes e identicamente distribuídas),
Então, para estimar quanto tempo esperar até o milésimo cliente, usamos
.
Passo 4
Aplicando os números do enunciado:
e
. Portanto
Para fazer a conta sem calculadora, simplifica-se:
Agora faça a divisão:
, sobra
, então a parte decimal é
. Assim
Passo 5
Arredondando com uma casa decimal (regra usual de arredondamento):
com uma casa decimal fica
minutos.
Passo 6
Interpretação e incerteza rápida (útil na prova): o resultado
minutos é o valor esperado — em média você esperaria isso. A variação em torno desse valor é relativamente pequena: a variância do tempo até o
-ésimo evento é
, então aqui
e o desvio padrão é aproximadamente
ou seja, na prática o tempo real até o milésimo cliente costuma ficar dentro de alguns minutos em torno de
minutos.