Um supermercado vai fazer uma promoção em que o milésimo cliente ganha uma feira de \mathrm{R} \ 1.000,00$ reais. Considere que os clientes chegam ao supermercado de acordo com um processo de Poisson a uma taxa de 15 clientes por minuto no dia da promoção. Quanto tempo você esperaria para entrar no supermercado e tentar ganhar o prêmio após a abertura do mesmo?
Dê sua resposta em minutos com uma casa decimal.
Resposta: □

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • A promoção dá o prêmio ao milésimo cliente (ou seja, queremos chegar ao cliente número \,1000,).
  • Os clientes chegam segundo um processo de Poisson com taxa de \,15\ clientes por minuto.
  • Pergunta: quanto tempo esperar, em minutos, após a abertura para entrar e tentar ser o milésimo cliente? Resposta pedida com uma casa decimal.

Passo 2

Entendendo a chegada de clientes passo a passo (conceito importante): num processo de Poisson com taxa \lambda (aqui \lambda=15 clientes/minuto), os tempos entre chegadas consecutivas são variáveis aleatórias independentes com distribuição exponencial de parâmetro \lambda.
Isso significa que cada intervalo entre clientes, que chamamos de X_1,X_2,\dots, satisfaz:
X_i\sim\text{Exp}(\lambda),
e a esperança (valor médio) de cada intervalo é
\mathbb{E}[X_i]=\frac{1}{\lambda}.
Breve intuição: em média chega um cliente a cada \tfrac{1}{\lambda} minutos; para \lambda=15 isso dá, em média, \tfrac{1}{15} minuto entre clientes.

Passo 3

Tempo até o n-ésimo cliente (aqui n=1000): o instante do n-ésimo evento num processo de Poisson é a soma dos primeiros n intervalos:
T_n = \sum_{i=1}^{n} X_i.
Como a esperança da soma é a soma das esperanças (as X_i são independentes e identicamente distribuídas),
\mathbb{E}[T_n]=\sum_{i=1}^n \mathbb{E}[X_i]=n\cdot\frac{1}{\lambda}=\frac{n}{\lambda}.
Então, para estimar quanto tempo esperar até o milésimo cliente, usamos \mathbb{E}[T_{1000}]=\dfrac{1000}{\lambda}.

Passo 4

Aplicando os números do enunciado: n=1000 e \lambda=15. Portanto
\mathbb{E}[T_{1000}] = \frac{1000}{15}.
Para fazer a conta sem calculadora, simplifica-se:
\frac{1000}{15}=\frac{200}{3}.
Agora faça a divisão: 15\times66=990, sobra 10, então a parte decimal é \dfrac{10}{15}=\dfrac{2}{3}=0,666\ldots. Assim
\frac{200}{3}=66,666\ldots

Passo 5

Arredondando com uma casa decimal (regra usual de arredondamento): 66,666\ldots com uma casa decimal fica \,66,7 minutos.

Passo 6

Interpretação e incerteza rápida (útil na prova): o resultado \,66,7 minutos é o valor esperado — em média você esperaria isso. A variação em torno desse valor é relativamente pequena: a variância do tempo até o n-ésimo evento é \dfrac{n}{\lambda^{2}}, então aqui
\operatorname{Var}(T_{1000})=\frac{1000}{15^{2}}=\frac{1000}{225}\approx 4,444\ldots
e o desvio padrão é aproximadamente
\sqrt{4,444\ldots}\approx 2,1\\ \text{minutos},
ou seja, na prática o tempo real até o milésimo cliente costuma ficar dentro de alguns minutos em torno de 66,7 minutos.

Resposta

66,7 minutos

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