Dado o fio retilíneo de comprimento
da figura 5 uniformemente carregado com densidade linear de carga
, calcule as componentes horizontal e vertical da força eletrostática que atua sobre uma carga
situada no ponto
de coordenadas
. Mostre que se aproximarmos este problema para um fio infinito, obtemos
e
.
Respostas:
Respostas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para calcular as componentes horizontal (
) e vertical (
) da força eletrostática que atua sobre uma carga
no ponto
, devido a um fio retilíneo de comprimento
com densidade linear de carga
. Vamos precisar usar a Lei de Coulomb e integrar as contribuições de força ao longo do fio. Além disso, vamos mostrar que, se o fio for infinito,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Coulomb para a força entre duas cargas:
onde
,
e
são as cargas,
é a distância entre elas, e
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 3
Como o fio está carregado de forma contínua, precisamos pensar em um elemento diferencial de carga no fio. Vamos chamar esse elemento de
, onde
é a densidade linear de carga e
é um pequeno segmento do fio.
Passo 4
A distância entre um ponto no fio, localizado em
, e o ponto
é dada por:
E o vetor unitário na direção dessa distância é:
Passo 5
A força diferencial
exercida por
sobre
é:
Passo 6
Para encontrar as componentes
e
, vamos integrar
sobre o comprimento do fio, que vai de
a
:
Passo 7
Resolvendo a integral para
:
Note que trocamos a ordem para ter a expressão dada na resposta.
Passo 8
Agora, resolvendo a integral para
:
Passo 9
Agora, vamos considerar o caso do fio ser infinito. Quando
, a primeira fração na expressão de
se torna igual à segunda fração, mas com sinais opostos, então:
Para
, quando
, temos:
Resposta
As componentes da força eletrostática são:
E para um fio infinito, temos: