Dado o fio retilíneo de comprimento l da figura 5 uniformemente carregado com densidade linear de carga lambda, calcule as componentes horizontal e vertical da força eletrostática que atua sobre uma carga q situada no ponto P de coordenadas (a, b). Mostre que se aproximarmos este problema para um fio infinito, obtemos Fx=0 e Fy=[q lambda /(2 pi epsilon0 b)] j.
Respostas:
l Fx=q lambda4 pi epsilon0[1raiza^2+b^2-1raiz(l-a)^2+b^2] i Fy=q lambda4 pi epsilon0 b[l-araiz(l-a)^2+b^2+araiza^2+b^2] j

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para calcular as componentes horizontal ( Fx) e vertical ( Fy) da força eletrostática que atua sobre uma carga q no ponto P(a, b), devido a um fio retilíneo de comprimento l com densidade linear de carga lambda. Vamos precisar usar a Lei de Coulomb e integrar as contribuições de força ao longo do fio. Além disso, vamos mostrar que, se o fio for infinito, Fx = 0 e Fy = [q lambda2 pi epsilon0 b] j.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Coulomb para a força entre duas cargas:
F = ke q Qr^2 r
onde ke = 14 pi epsilon0, q e Q são as cargas, r é a distância entre elas, e r é o vetor unitário na direção de r.

Passo 3

Como o fio está carregado de forma contínua, precisamos pensar em um elemento diferencial de carga no fio. Vamos chamar esse elemento de dQ = lambda dx, onde lambda é a densidade linear de carga e dx é um pequeno segmento do fio.

Passo 4

A distância entre um ponto no fio, localizado em x, e o ponto P(a, b) é dada por:
r = raiz(x - a)^2 + b^2
E o vetor unitário na direção dessa distância é:
r = (a - x) i + b jr

Passo 5

A força diferencial dF exercida por dQ sobre q é:
dF = ke q dQr^2 r = q lambda4 pi epsilon0 (a - x) i + b j[(x - a)^2 + b^2]^3/2 dx

Passo 6

Para encontrar as componentes Fx e Fy, vamos integrar dF sobre o comprimento do fio, que vai de x = 0 a x = l:
Fx = q lambda4 pi epsilon0 integral0^l (a - x)[(x - a)^2 + b^2]^3/2 dx
Fy = q lambda4 pi epsilon0 integral0^l b[(x - a)^2 + b^2]^3/2 dx

Passo 7

Resolvendo a integral para Fx:
Fx = q lambda4 pi epsilon0 [ 1raiz(x - a)^2 + b^2 ]0^l = q lambda4 pi epsilon0 [ 1raiz(l - a)^2 + b^2 - 1raiza^2 + b^2 ]
Note que trocamos a ordem para ter a expressão dada na resposta.

Passo 8

Agora, resolvendo a integral para Fy:
Fy = q lambda4 pi epsilon0 [ bb^2 (x - a)raiz(x - a)^2 + b^2 ]0^l = q lambda4 pi epsilon0 b [ (l - a)raiz(l - a)^2 + b^2 + araiza^2 + b^2 ]

Passo 9

Agora, vamos considerar o caso do fio ser infinito. Quando l to infty, a primeira fração na expressão de Fx se torna igual à segunda fração, mas com sinais opostos, então:
Fx = 0
Para Fy, quando l to infty, temos:
Fy = q lambda4 pi epsilon0 b [ ll ] = q lambda4 pi epsilon0 b times 2 = q lambda2 pi epsilon0 b

Resposta

As componentes da força eletrostática são:
Fx=q lambda4 pi epsilon0[1raiza^2+b^2-1raiz(l-a)^2+b^2] i
Fy=q lambda4 pi epsilon0 b[l-araiz(l-a)^2+b^2+araiza^2+b^2] j
E para um fio infinito, temos:
Fx=0 e Fy=[q lambda2 pi epsilon0 b] j

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