Dado a função f=4 x^3-2 x^2-3 xx^3-4 x.
(b) Para todos a neq D, determine se a é uma descontinuidade removível. Se a é uma descuntinuidáde removível defina o valor b tal que a função g(x)=llf(x) & Se x neq a b & Se x=a é continua em a.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função racional f(x)=4x^3-2x^2-3xx^3-4x. O conteúdo é classificação de descontinuidades de funções racionais. Para resolver vamos precisar achar o domínio, fatorar numerador e denominador, simplificar e estudar limites em cada ponto que não pertence ao domínio.

Passo 2

Vamos determinar o domínio de f. Igualamos o denominador a zero: x^3-4x=0 e fatoramos x(x^2-4)=0. Daí o domínio é Rsetminus -2,0,2, pois em x=-2,0,2 a função não está definida.

Passo 3

Agora fatoramos numerador e denominador para ver cancelamentos: numerador 4x^3-2x^2-3x=x(4x^2-2x-3)=x(2x-3)(2x+1), denominador x(x-2)(x+2). Podemos cancelar o fator x, obtendo a forma simplificada 4x^2-2x-3x^2-4, válida para xneq0,pm2.

Passo 4

Definição de descontinuidade removível: ocorre quando o limite limxto af(x) existe e é finito, mas f(a) não está definido. Para a=0 o fator x cancela, então o limite existe. Para a=2 e a=-2 o denominador vai a zero sem cancelar nada, fazendo o limite divergir para pminfty (vertical asymptote), logo não são removíveis.

Passo 5

Cálculo do valor b para tornar a função contínua em a=0. Usamos a forma simplificada:
b=limxto0f(x)=limxto04x^2-2x-3x^2-4=4cdot0^2-2cdot0-30^2-4=-3-4=34

Resposta

A única descontinuidade removível é em a=0, definindo b=3/4. Em a=2 e a=-2 as descontinuidades não são removíveis.

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