Determine os valores máximo e mínimo de
na região retangular
.
Passo 1
A questão pede para encontrar os valores máximo e mínimo da função f(x,y)=x³ + y³ − 3xy na região retangular 0 ≤ x ≤ 2, −1 ≤ y ≤ 2. É um problema de otimização em região fechada, então vamos achar pontos críticos internos (derivadas parciais = 0) e depois analisar cada lado do retângulo.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Igualando a zero formamos o sistema:
$$\begin{cases}
3x^2 - 3y = 0,\
3y^2 - 3x = 0.
3y^2 - 3x = 0.
\end{cases}$$
Do primeiro equacionamento vem y = x²; do segundo, x = y². Substituindo y = x² em x = y² dá x = x^4 ⇒ x(x^3 -1)=0 ⇒ x=0 ou x=1. Assim os pontos críticos internos são (0,0) e (1,1), ambos dentro da região.
Do primeiro equacionamento vem y = x²; do segundo, x = y². Substituindo y = x² em x = y² dá x = x^4 ⇒ x(x^3 -1)=0 ⇒ x=0 ou x=1. Assim os pontos críticos internos são (0,0) e (1,1), ambos dentro da região.
Passo 3
Avaliando f nesses dois pontos:
$$
f(0,0)=03+03-0=0,$$
Passo 4
Analisando a borda x=0 com y∈[−1,2]:
$$
f(0,y)=y^3.$$
Como y³ é crescente em y, o mínimo ocorre em y=−1 dando f=−1 e o máximo em y=2 dando f=8.
Como y³ é crescente em y, o mínimo ocorre em y=−1 dando f=−1 e o máximo em y=2 dando f=8.
Passo 5
Analisando a borda x=2 com y∈[−1,2]:
$$
g(y)=f(2,y)=8+y^3-6y.
g(-1)=8-1+6=13,$$
$$
g(\sqrt2)=8+2\sqrt2-6\sqrt2=8-4\sqrt2\approx2{,}34,$$
$$
g(2)=8+8-12=4.$$
Passo 6
Analisando a borda y=−1 com x∈[0,2]:
$$
h(x)=f(x,-1)=x^3-1+3x,$$
com h’(x)=3x^2+3>0 sempre, logo crescente: mínimo em x=0 (f=−1) e máximo em x=2 (f=13).
com h’(x)=3x^2+3>0 sempre, logo crescente: mínimo em x=0 (f=−1) e máximo em x=2 (f=13).
Passo 7
Analisando a borda y=2 com x∈[0,2]:
$$
k(x)=f(x,2)=x^3+8-6x,
k(0)=8,$$
$$
k(\sqrt2)=8-4\sqrt2\approx2{,}34,$$
$$
k(2)=8-12+8=4.$$
Passo 8
Comparando todos os valores obtidos — internos (0 e −1) e nas bordas (−1, 8, 13, ≈2,34, 4) — concluímos que o valor máximo é 13 e o valor mínimo é −1.
Resposta
O valor máximo de f na região é 13 e o valor mínimo é −1.