Dado que o gráfico de
passa pelo ponto (1,5) e que a inclinação de sua reta tangente em (x,f(x)) é 2x+1, encontre f(x).
Passo 1
O enunciado dá duas informações importantes e pede uma coisa clara.\n
- Informações dadas:\n
- O gráfico de
passa pelo ponto .\n - A inclinação da reta tangente a
em é .\n
- O gráfico de
- Pedido:\n
- Encontrar a expressão de
.\n
- Encontrar a expressão de
Passo 2
Entendendo o que significa “inclinação da reta tangente”:\n
A inclinação da reta tangente a
em um ponto é exatamente a derivada de
naquele ponto. Em notação, a informação "a inclinação é
" quer dizer que\n
\n
Explicando devagar:
é a taxa de variação instantânea de
em
— pense como a “velocidade” de
— e ela nos foi dada como a função
.
Passo 3
Como obter
a partir de
: antiderivação (integração) básica.\n
Se sabemos que
, então
é uma primitiva (uma antiderivada) de
. Isso significa que devemos calcular a integral indefinida de
. Aqui
, então\n
\n
Vamos decompor a integral e usar regras simples:\n
- Regra 1:
(quando ). Aplicando com : . Multiplicando por dá .\n - Regra 2:
.\n
Portanto,\n
\n
onde
é a constante de integração. Breve explicação dessa constante: derivadas “perdem” constantes (a derivada de uma constante é zero), então ao integrar aparecem infinitas primitivas que diferem por uma constante.
Passo 4
Usar a condição inicial
para achar
.\n
Substituímos em
e igualamos a
:\n
Substituímos
Calcule o lado direito:
. Logo\n
Passo 5
Conclusão final e verificação rápida.\n
Com
obtemos\n
\n
Verificação rápida: derivando
dá
, que coincide com a inclinação dada; e
, que coincide com o ponto fornecido. Tudo certo!\n
Dica para a prova: quando te derem — a inclinação da tangente — integra direto para achar
mais uma constante, e use qualquer ponto dado para determinar essa constante.
Dica para a prova: quando te derem