Dado que o gráfico de f passa pelo ponto (1,5) e que a inclinação de sua reta tangente em (x,f(x)) é 2x+1, encontre f(x).

Passo 1

O enunciado dá duas informações importantes e pede uma coisa clara.\n
  • Informações dadas:\n
    • O gráfico de f passa pelo ponto (1,5).\n
    • A inclinação da reta tangente a f em (x,f(x)) é 2x+1.\n
  • Pedido:\n
    • Encontrar a expressão de f(x).\n

Passo 2

Entendendo o que significa “inclinação da reta tangente”:\n
A inclinação da reta tangente a f em um ponto é exatamente a derivada de f naquele ponto. Em notação, a informação "a inclinação é 2x+1" quer dizer que\n f'(x)=2x+1.\n
Explicando devagar: f'(x) é a taxa de variação instantânea de f em x — pense como a “velocidade” de f — e ela nos foi dada como a função 2x+1.

Passo 3

Como obter f a partir de f': antiderivação (integração) básica.\n
Se sabemos que f'(x)=g(x), então f(x) é uma primitiva (uma antiderivada) de g. Isso significa que devemos calcular a integral indefinida de g. Aqui g(x)=2x+1, então\n f(x)=\int (2x+1)\,dx.\n
Vamos decompor a integral e usar regras simples:\n
\int (2x+1)\,dx = \int 2x\,dx + \int 1\,dx.\n
  • Regra 1: \int x^n dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C (quando n\neq -1). Aplicando com n=1: \int x\,dx = \dfrac{x^2}{2}. Multiplicando por 2 \int 2x\,dx = 2\cdot \dfrac{x^2}{2}=x^2.\n
  • Regra 2: \int 1\,dx = x.\n
Portanto,\n f(x)=x^2 + x + C,\n
onde C é a constante de integração. Breve explicação dessa constante: derivadas “perdem” constantes (a derivada de uma constante é zero), então ao integrar aparecem infinitas primitivas que diferem por uma constante.

Passo 4

Usar a condição inicial f(1)=5 para achar C.\n
Substituímos x=1 em f(x)=x^2+x+C e igualamos a 5:\n
5 = 1^2 + 1 + C.\n
Calcule o lado direito: 1^2+1=1+1=2. Logo\n 5 = 2 + C \quad\Rightarrow\quad C = 5-2 = 3.

Passo 5

Conclusão final e verificação rápida.\n
Com C=3 obtemos\n f(x)=x^2 + x + 3.\n
Verificação rápida: derivando f f'(x)=2x+1, que coincide com a inclinação dada; e f(1)=1+1+3=5, que coincide com o ponto fornecido. Tudo certo!\n
Dica para a prova: quando te derem f'(x) — a inclinação da tangente — integra direto para achar f(x) mais uma constante, e use qualquer ponto dado para determinar essa constante.

Resposta

f(x)=x^{2}+x+3

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