Determine
.
Passo 1
O problema pede para determinar a função
que satisfaz a information:
com as condições iniciais
Ou seja, temos a terceira derivada conhecida e três condições em
que servem para achar as constantes de integração. Vamos usar integração sucessiva para recuperar
.
Passo 2
Primeira integração: integrar
para obter
. Lembre que a integral indefinida de
é
, e sempre aparece uma constante de integração (porque a derivada de uma constante é zero). Assim
onde
é uma constante real desconhecida por enquanto.
Passo 3
Usar a condição inicial para
. Substituindo
em
e lembrando que
, obtemos
Mas foi dado que
. Portanto
Logo temos
Passo 4
Segunda integração: integrar
para obter
. Use que
e
. Incluímos outra constante de integração
. Assim
Passo 5
Usar a condição inicial para
. Substituindo
em
e lembrando que
, obtemos
Como
, segue
Portanto
Passo 6
Terceira integração: integrar
para obter
. Use que
,
e
. Incluímos a última constante de integração
. Assim
Passo 7
Usar a condição inicial para
. Substituindo
em
e sabendo que
, obtemos
Como
, segue
. Então finalmente
Passo 8
Verificação rápida (importante para a prova): derivando três vezes
obtemos
e avaliando em
recuperamos
,
,
. Tudo confere.