Determine f.
f^{\prime \prime \prime}(x)=\cos x, \quad f(0)=1, f^{\prime}(0)=2, f^{\prime \prime}(0)=7

Passo 1

O problema pede para determinar a função f que satisfaz a information:
f^{\prime\prime\prime}(x)=\cos x,
com as condições iniciais
f(0)=1,\quad f^{\prime}(0)=2,\quad f^{\prime\prime}(0)=7.
Ou seja, temos a terceira derivada conhecida e três condições em x=0 que servem para achar as constantes de integração. Vamos usar integração sucessiva para recuperar f.

Passo 2

Primeira integração: integrar f^{\prime\prime\prime}(x)=\cos x para obter f^{\prime\prime}(x). Lembre que a integral indefinida de \cos x é \sin x, e sempre aparece uma constante de integração (porque a derivada de uma constante é zero). Assim
f^{\prime\prime}(x)=\sin x + C_{1},
onde C_{1} é uma constante real desconhecida por enquanto.

Passo 3

Usar a condição inicial para f^{\prime\prime}. Substituindo x=0 em \;f^{\prime\prime}(x)=\sin x + C_{1}\; e lembrando que \sin 0=0, obtemos
f^{\prime\prime}(0)=0+C_{1}=C_{1}.
Mas foi dado que f^{\prime\prime}(0)=7. Portanto
C_{1}=7.
Logo temos
f^{\prime\prime}(x)=\sin x + 7.

Passo 4

Segunda integração: integrar f^{\prime\prime}(x)=\sin x + 7 para obter f^{\prime}(x). Use que \int \sin x\,dx = -\cos x e \int 7\,dx = 7x. Incluímos outra constante de integração C_{2}. Assim
f^{\prime}(x)=-\cos x + 7x + C_{2}.

Passo 5

Usar a condição inicial para f^{\prime}. Substituindo x=0 em \;f^{\prime}(x)=-\cos x + 7x + C_{2}\; e lembrando que \cos 0=1, obtemos
f^{\prime}(0)=-1 + 0 + C_{2}=C_{2}-1.
Como f^{\prime}(0)=2, segue
C_{2}-1=2 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=3.
Portanto
f^{\prime}(x)=-\cos x + 7x + 3.

Passo 6

Terceira integração: integrar f^{\prime}(x)=-\cos x + 7x + 3 para obter f(x). Use que \int -\cos x\,dx = -\sin x, \int 7x\,dx = \tfrac{7}{2}x^{2} e \int 3\,dx = 3x. Incluímos a última constante de integração C_{3}. Assim
f(x)=-\sin x + \tfrac{7}{2}x^{2} + 3x + C_{3}.

Passo 7

Usar a condição inicial para f. Substituindo x=0 em \;f(x)=-\sin x + \tfrac{7}{2}x^{2} + 3x + C_{3}\; e sabendo que \sin 0=0, obtemos
f(0)=0+0+0+C_{3}=C_{3}.
Como f(0)=1, segue C_{3}=1. Então finalmente
f(x)=-\sin x + \tfrac{7}{2}x^{2} + 3x + 1.

Passo 8

Verificação rápida (importante para a prova): derivando três vezes \;f(x)=-\sin x + \tfrac{7}{2}x^{2} + 3x + 1\; obtemos
f^{\prime}(x)=-\cos x + 7x + 3,
f^{\prime\prime}(x)=\sin x + 7,
f^{\prime\prime\prime}(x)=\cos x,
e avaliando em x=0 recuperamos f(0)=1, f^{\prime}(0)=2, f^{\prime\prime}(0)=7. Tudo confere.

Resposta

f(x)=-\sin x + \tfrac{7}{2}x^{2} + 3x + 1

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