Determine f.
f^{\prime \prime}(t)=t^{2}+1 / t^{2}, \quad t>0, f(2)=3, f(1)=0

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede para determinar a função f:
\quad Dado \;f''(t)=t^{2}+\dfrac{1}{t^{2}}, para \;t>0.\n
\quad Condições: \;f(2)=3 e \;f(1)=0.\n
\quad Pergunta: encontrar explicitamente f(t) para \;t>0.

Passo 2

Vamos integrar uma vez para obter f'(t). Lembrete prático sobre integrais: para um monômio \;t^{n} com n\neq-1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
Para n=-1 temos a regra especial
\int t^{-1}\,dt=\ln t + C,
válida para t>0. Aplicando isso a \;f''(t)=t^{2}+t^{-2}:
f'(t)=\int\!\big(t^{2}+t^{-2}\big)\,dt=\int t^{2}\,dt+\int t^{-2}\,dt=\frac{t^{3}}{3}+(-t^{-1})+C_{1}.
Portanto
f'(t)=\frac{t^{3}}{3}-\frac{1}{t}+C_{1},
onde \;C_{1} é constante de integração.

Passo 3

Agora integramos f'(t) para obter f(t). Integramos termo a termo, lembrando que \int t^{-1}\,dt=\ln t:
\int \frac{t^{3}}{3}\,dt=\frac{1}{3}\cdot\frac{t^{4}}{4}=\frac{t^{4}}{12},
\int \left(-\frac{1}{t}\right)\,dt=-\ln t,
\int C_{1}\,dt=C_{1}t.
Somando e adicionando a segunda constante de integração C_{2}, obtemos
f(t)=\frac{t^{4}}{12}-\ln t + C_{1}t + C_{2}.
Explicação rápida: C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias que aparecem por causa das duas integrações sucessivas; vamos determinar seus valores com as condições dadas.

Passo 4

Usamos as condições iniciais para montar um sistema linear em \;C_{1} e \;C_{2}.
Para \;t=1 e f(1)=0:
0=f(1)=\frac{1^{4}}{12}-\ln 1 + C_{1}\cdot 1 + C_{2}=\frac{1}{12}-0+C_{1}+C_{2}.
Logo
C_{1}+C_{2}=-\frac{1}{12}.
Para \;t=2 e f(2)=3:
3=f(2)=\frac{2^{4}}{12}-\ln 2 + C_{1}\cdot 2 + C_{2}=\frac{16}{12}-\ln 2 + 2C_{1}+C_{2}.
Simplificando \frac{16}{12}=\frac{4}{3}, obtemos
2C_{1}+C_{2}=3-\frac{4}{3}+\ln 2=\frac{5}{3}+\ln 2.
Assim o sistema é
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=-\dfrac{1}{12},\\[6pt] 2C_{1}+C_{2}=\dfrac{5}{3}+\ln 2. \end{cases}]

Passo 5

Resolvendo o sistema por subtração: subtraímos a primeira equação da segunda para eliminar C_{2}.
(2C_{1}+C_{2})-(C_{1}+C_{2})=C_{1}=\left(\frac{5}{3}+\ln 2\right)-\left(-\frac{1}{12}\right).
Calculando as frações:
\frac{5}{3}+\frac{1}{12}=\frac{20}{12}+\frac{1}{12}=\frac{21}{12}=\frac{7}{4}.
Logo
C_{1}=\frac{7}{4}+\ln 2.
Agora usamos C_{1}+C_{2}=-\dfrac{1}{12} para achar C_{2}:
C_{2}=-\frac{1}{12}-C_{1}=-\frac{1}{12}-\left(\frac{7}{4}+\ln 2\right).
Calcule as frações:
-\frac{1}{12}-\frac{7}{4}=-\frac{1}{12}-\frac{21}{12}=-\frac{22}{12}=-\frac{11}{6}.
Portanto
C_{2}=-\frac{11}{6}-\ln 2.

Passo 6

Substituímos C_{1} e C_{2} em f(t)=\dfrac{t^{4}}{12}-\ln t + C_{1}t + C_{2}:
f(t)=\frac{t^{4}}{12}-\ln t +\left(\frac{7}{4}+\ln 2\right)t -\frac{11}{6}-\ln 2.
É a forma explícita da função para \;t>0. (Se quiser, dá para rearranjar termos que envolvem \ln 2, mas essa expressão já está completa.)

Passo 7

Checagem rápida das condições:
Para t=1:
f(1)=\frac{1}{12}-\ln 1 +\left(\frac{7}{4}+\ln 2\right)\cdot 1 -\frac{11}{6}-\ln 2 =\frac{1}{12}+ \frac{7}{4}-\frac{11}{6}+(\ln 2-\ln 2)=0,
porque \dfrac{1}{12}+\dfrac{7}{4}-\dfrac{11}{6}=0 (fácil de verificar com denominador comum 12).
Para t=2:
f(2)=\frac{16}{12}-\ln 2 +\left(\frac{7}{4}+\ln 2\right)\cdot 2 -\frac{11}{6}-\ln 2 =\frac{4}{3}-\ln 2 +\frac{7}{2}+2\ln 2 -\frac{11}{6}-\ln 2=3,
as parcelas com \ln 2 se cancelam adequadamente e as frações somam 3. Está consistente.

Resposta

f(t)=\frac{t^{4}}{12}-\ln t +\left(\frac{7}{4}+\ln 2\right)t -\frac{11}{6}-\ln 2

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