Um dado honesto é lançado 100 vezes consecutivas.
b) Qual é a probabilidade de que ocorra face par em mais de 65 lançamentos? (R.: 0,001)
b) Qual é a probabilidade de que ocorra face par em mais de 65 lançamentos? (R.: 0,001)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde um dado honesto (ou seja, justo) é lançado 100 vezes seguidas. A pergunta é: qual a probabilidade de sair uma face par mais de 65 vezes nesses 100 lançamentos? Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de probabilidade, especificamente a distribuição binomial e uma aproximação normal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma face par em um dado. Num dado comum de 6 faces, as faces pares são 2, 4 e 6. Então, a probabilidade de sair uma face par em um único lançamento é de 3 em 6, ou seja, 0,5.
Passo 3
Como o dado é lançado 100 vezes, estamos lidando com uma distribuição binomial, onde cada lançamento é uma tentativa independente. Na distribuição binomial, temos dois parâmetros importantes:
- n: número de tentativas (nesse caso, 100 lançamentos)
- p: probabilidade de sucesso em cada tentativa (aqui, sucesso é sair uma face par, então p = 0,5)
Passo 4
Queremos saber a probabilidade de obter mais de 65 faces pares em 100 lançamentos. Matemáticamente, isso é representado por P(X > 65), onde X é o número de faces pares obtidas.
Passo 5
Calcular exatamente essa probabilidade usando a fórmula da distribuição binomial pode ser trabalhoso, então vamos usar uma aproximação normal. Para isso, primeiro calculamos a média (μ) e o desvio padrão (σ) da distribuição binomial:
- μ = n * p = 100 * 0.5 = 50
- σ = sqrt(n * p * (1 - p)) = sqrt(100 * 0.5 * 0.5) = sqrt(25) = 5
Agora, vamos padronizar o valor X = 65 para encontrar o valor z na distribuição normal:
- z = (X - μ) / σ = (65 - 50) / 5 = 15 / 5 = 3
Passo 6
Com o valor z = 3, queremos encontrar a probabilidade de Z ser maior que 3 na distribuição normal padrão, ou seja, P(Z > 3). Consultando a tabela da distribuição normal ou usando uma calculadora, encontramos que P(Z > 3) ≈ 0,0013.
Resposta
A probabilidade de ocorrer face par em mais de 65 lançamentos é aproximadamente 0,001.