Mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que a soma $ \sum_{i=1}^{k} f_{i}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} $ é igual a $ \sum_{i=1}^{k} f_{i} x_{i}^{2} - \bar{x}^{2} $. Estamos lidando com conceitos de estatística, especificamente com variância e média ponderada. Para resolver isso, vamos precisar expandir o termo $ (x_{i} - \bar{x})^{2} $ e simplificar a expressão passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o quadrado dentro da soma:
Passo 3
Agora, substituímos essa expansão na soma original:
Passo 4
Distribuímos $ f_{i} $ dentro da soma:
Passo 5
Sabemos que $ \bar{x} $ é a média ponderada, então:
Passo 6
Usando isso, simplificamos os termos:
E:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão:
Passo 8
Simplificamos os termos constantes:
Passo 9
Portanto, temos:
Resposta
Prontinho! Mostramos que $ \sum_{i=1}^{k} f_{i}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} = \sum_{i=1}^{k} f_{i} x_{i}^{2} - \bar{x}^{2} $.