Mostre que:
sumi=1^k fi(xi-barx)^2=sumi=1^k fi xi^2-barx^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que a soma $ \sum_{i=1}^{k} f_{i}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} $ é igual a $ \sum_{i=1}^{k} f_{i} x_{i}^{2} - \bar{x}^{2} $. Estamos lidando com conceitos de estatística, especificamente com variância e média ponderada. Para resolver isso, vamos precisar expandir o termo $ (x_{i} - \bar{x})^{2} $ e simplificar a expressão passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o quadrado dentro da soma:
(xi - barx)^2 = xi^2 - 2xibarx + barx^2

Passo 3

Agora, substituímos essa expansão na soma original:
sumi=1^k fi(xi - barx)^2 = sumi=1^k fi(xi^2 - 2xibarx + barx^2)

Passo 4

Distribuímos $ f_{i} $ dentro da soma:
fi

Passo 5

Sabemos que $ \bar{x} $ é a média ponderada, então:

Passo 6

Usando isso, simplificamos os termos:
-2barxsumi=1^k fixi = -2barx cdot barx = -2barx^2
E:
barx^2sumi=1^k fi = barx^2 cdot 1 = barx^2

Passo 7

Substituindo de volta na expressão:
sumi=1^k fi(xi - barx)^2 = sumi=1^k fixi^2 - 2barx^2 + barx^2

Passo 8

Simplificamos os termos constantes:
-2barx^2 + barx^2 = -barx^2

Passo 9

Portanto, temos:
sumi=1^k fi(xi - barx)^2 = sumi=1^k fixi^2 - barx^2

Resposta

Prontinho! Mostramos que $ \sum_{i=1}^{k} f_{i}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} = \sum_{i=1}^{k} f_{i} x_{i}^{2} - \bar{x}^{2} $.

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