Em um dado instante, um oscilador harmônico pode ser descrito em t=0 pela função de onda \Psi(x, 0)=N\left[\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \psi_{0}(x)+\psi_{2}(x)\right], que nada mais é que uma mistura de dois de seus auto-estados. Encontre N e, a seguir, calcule os valores esperados \langle p\rangle e \langle H\rangle.
Passo 1
O enunciado fornece a função de onda no instante t=0
Mostramos que todos os termos acima são zero, portanto \langle p\rangle=0.
Explicação por paridade (mais direta): as autofunções \psi_0 e \psi_2 do oscilador harmônico têm paridade par (são funções pares). O operador \hat p = -i\hbar\,d/dx é uma operação ímpar (aplica derivada, trocando a paridade do produto): se f(x) é par e g(x) é par, então f(x)\frac{d}{dx}g(x) é função ímpar, cuja integral sobre (-\infty,\infty) é zero. Assim:
Observação alternativa (relevo didático): usando operadores de criação/aniquilação,
\hat p = i\sqrt{\tfrac{m\hbar\omega}{2}}\,(a^\dagger - a),
as únicas transições não nulas entre estados de número são entre níveis adjacentes (n\leftrightarrow n\pm 1). Logo \langle 0|\hat p|2\rangle=0 porque 2\neq 0\pm1. Isso confirma o resultado acima.