Uma partícula de massa m encontra-se no eixo dos x’s sujeita à ação do potencial V(x)=\infty se x<0 e V(x)=\left(m \omega^{2} / 2\right) x^{2} se x>0. Em vista disso, enumere todos os possíveis auto-estados \psi_{n}(x) da partícula e todas as auto-energias E_{n} a eles correspondentes.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pedidos:
Informação: a partícula tem massa m\).
- Informação: o potencial é
\[V(x)=\begin{cases} \infty, & x<0,\\[4pt] \dfrac{m\omega^{2}}{2}\,x^{2}, & x>0. \end{cases}
Pedido: enumerar todos os possíveis auto-estados \psi_{n}(x)\] da partícula e todas as auto-energias \(E_{n} correspondentes.
Observações imediatas que devo manter em mente (sem resolver ainda): o potencial é um poço infinito para x<0 e um oscilador harmônico para x>0; isso impõe condições na função de onda na fronteira x=0. A resolução detalhada começa no próximo passo.]
Passo 2
Condição de contorno em x=0 por causa do poço infinito: quando V=\infty em x<0 a função de onda não pode ter amplitude ali, então deve valer zero para x<0. Além disso, por continuidade física da função de onda (e porque diretamente no lado esquerdo a função é zero), temos a condição de contorno
\psi(0)=0.
Resumo: a solução deve ser definida apenas em x\ge 0 (ser zero para x<0) e satisfazer \psi(0)=0.
Passo 3
Ideia prática para resolver: pense no oscilador harmônico usual definido em toda a reta x\in(-\infty,\infty). As autofunções do oscilador completo (no eixo inteiro) são bem conhecidas:
Propriedade de paridade e valor em x=0: as autofunções \phi_n(x) têm paridade alternada:
para n par, \phi_n(x) é par (não muda de sinal), então \phi_n(0)\neq 0 em geral;
para n ímpar, \phi_n(x) é ímpar (muda de sinal), logo \phi_n(0)=0.
Como precisamos de soluções que satisfaçam \psi(0)=0, somente as autofunções do oscilador completo com n ímpar já satisfazem essa condição no ponto x=0. Portanto as soluções possíveis para x>0 podem ser obtidas tomando as autofunções ímpares do oscilador completo e “cortando” para x>0 (colocando zero para x<0).
Passo 5
Construção explícita dos autoestados no semieixo [x\ge 0):
Seja k=0,1,2,\dots e considere n=2k+1 (os níveis ímpares do oscilador completo). Defina a autofunção no semieixo como
Explicação do fator A_k\]: a autofunção \(\phi_{2k+1}(x) do oscilador completo já é normalizada no eixo inteiro. Como \phi_{2k+1}(x) é ímpar, a probabilidade no semieixo positivo é metade da probabilidade total, ou seja,
Interpretação física: os níveis do semioscilador são exatamente os níveis ímpares do oscilador completo; os níveis pares do oscilador completo são excluídos porque não satisfazem \psi(0)=0.
Passo 7
Exemplo concreto do estado fundamental (menor energia) do semioscilador: para k=0 temos n=1. O polinômio de Hermite H_1(\xi)=2\xi, então para x>0