Em um dado instante, um oscilador harmônico pode ser descrito em t=0 pela função de onda \Psi(x, 0)=N\left[\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \psi_{0}(x)+\psi_{2}(x)\right], que nada mais é que uma mistura de dois de seus auto-estados. Encontre N e, a seguir, calcule os valores esperados \langle p\rangle e \langle H\rangle.

Passo 1

O enunciado fornece a função de onda no instante t=0
\Psi(x,0)=N\left[\frac{1}{\sqrt{2}}\psi_{0}(x)+\psi_{2}(x)\right],
onde \psi_{0} e \psi_{2} são dois autoestados (autofunções) do oscilador harmônico. As tarefas são:
  1. Encontrar a constante de normalização N.
  2. Calcular o valor esperado do momento \langle p\rangle no instante t=0.
  3. Calcular o valor esperado da energia \langle H\rangle no instante t=0.
Informações relevantes (que usaremos depois): as autofunções \psi_n formam uma base ortonormal,
\langle \psi_n | \psi_m \rangle = \delta_{nm},
e os autovalores de energia do oscilador harmônico são dados por
E_n=\hbar\omega\left(n+\tfrac{1}{2}\right).

Passo 2

Normalização: a função de onda deve satisfazer
\langle \Psi|\Psi\rangle = 1.
Substituímos \Psi e usamos linearidade e ortonormalidade das \psi_n. Escrevendo explicitamente,
1=\langle \Psi|\Psi\rangle =|N|^2\left\langle \frac{1}{\sqrt{2}}\psi_0+\psi_2 \;\middle|\; \frac{1}{\sqrt{2}}\psi_0+\psi_2\right\rangle.
Expandindo o produto interno e usando \langle\psi_n|\psi_m\rangle=\delta_{nm},
\begin{aligned} \left\langle \tfrac{1}{\sqrt{2}}\psi_0+\psi_2 \;\middle|\; \tfrac{1}{\sqrt{2}}\psi_0+\psi_2\right\rangle &= \frac{1}{2}\langle\psi_0|\psi_0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\langle\psi_0|\psi_2\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\langle\psi_2|\psi_0\rangle + \langle\psi_2|\psi_2\rangle \\\ &= \frac{1}{2}\cdot 1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot 0 + \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot 0 + 1 \\\ &= \frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}. \end{aligned}
Portanto
1=|N|^2\cdot\frac{3}{2}\quad\Rightarrow\quad |N|^2=\frac{2}{3}.
Escolhemos a fase de normalização real e positiva (padrão), obtendo
N=\sqrt{\tfrac{2}{3}}.

Passo 3

Definição do valor esperado do momento: no espaço de posição o operador momento é \hat p = -i\hbar\frac{d}{dx}. O valor esperado é
\langle p\rangle = \langle \Psi|\hat p|\Psi\rangle = \int_{-\infty}^{\infty}\Psi^*(x,0)\left(-i\hbar\frac{d}{dx}\right)\Psi(x,0)\,dx.
Substituímos a expansão de \Psi. É conveniente escrever o valor esperado em termos dos elementos de matriz entre os autoestados:
\langle p\rangle = |N|^2\!\left[\frac{1}{2}\langle\psi_0|\hat p|\psi_0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\langle\psi_0|\hat p|\psi_2\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\langle\psi_2|\hat p|\psi_0\rangle + \langle\psi_2|\hat p|\psi_2\rangle\right].

Passo 4

Mostramos que todos os termos acima são zero, portanto \langle p\rangle=0.
Explicação por paridade (mais direta): as autofunções \psi_0 e \psi_2 do oscilador harmônico têm paridade par (são funções pares). O operador \hat p = -i\hbar\,d/dx é uma operação ímpar (aplica derivada, trocando a paridade do produto): se f(x) é par e g(x) é par, então f(x)\frac{d}{dx}g(x) é função ímpar, cuja integral sobre (-\infty,\infty) é zero. Assim:
\langle\psi_0|\hat p|\psi_0\rangle=0,\qquad \langle\psi_2|\hat p|\psi_2\rangle=0,\qquad \langle\psi_0|\hat p|\psi_2\rangle=0,\qquad \langle\psi_2|\hat p|\psi_0\rangle=0.
Portanto todos os termos somam zero e concluímos
\langle p\rangle = 0.
Observação alternativa (relevo didático): usando operadores de criação/aniquilação,
\hat p = i\sqrt{\tfrac{m\hbar\omega}{2}}\,(a^\dagger - a),
as únicas transições não nulas entre estados de número são entre níveis adjacentes ( n\leftrightarrow n\pm 1). Logo \langle 0|\hat p|2\rangle=0 porque 2\neq 0\pm1. Isso confirma o resultado acima.

Passo 5

Cálculo de \langle H\rangle.
Definição do valor esperado da energia:
\langle H\rangle = \langle \Psi|\hat H|\Psi\rangle.
Como \psi_n são autofunções de \hat H com autovalores E_n, temos \hat H|\psi_n\rangle = E_n|\psi_n\rangle e, portanto, usando ortonormalidade,
\langle\psi_n|\hat H|\psi_m\rangle = E_m\langle\psi_n|\psi_m\rangle = E_m\delta_{nm}.
Assim, os termos cruzados na expansão de \langle H\rangle desaparecem e obtemos
\langle H\rangle = |N|^2\left[\frac{1}{2}E_0 + 1\cdot E_2\right].
Agora substituímos os autovalores do oscilador harmônico:
E_n=\hbar\omega\left(n+\tfrac{1}{2}\right),
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E_0=\tfrac{1}{2}\hbar\omega,\qquad E_2=\tfrac{5}{2}\hbar\omega.
Calculamos o conteúdo entre colchetes:
\frac{1}{2}E_0 + E_2 = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\hbar\omega + \frac{5}{2}\hbar\omega = \frac{1}{4}\hbar\omega + \frac{5}{2}\hbar\omega = \frac{11}{4}\hbar\omega.
Multiplicando por |N|^2=\tfrac{2}{3},
\langle H\rangle = \frac{2}{3}\cdot\frac{11}{4}\hbar\omega = \frac{11}{6}\hbar\omega.

Resposta

N=\sqrt{\tfrac{2}{3}}
\langle p\rangle = 0
\langle H\rangle = \tfrac{11}{6}\hbar\omega

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