Dado que \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}=0 para um gás ideal, prove que \left(\frac{\partial H}{\partial V}\right)_{T}=0 para o mesmo tipo de gás

Passo 1

O enunciado pede que eu prove que \left(\frac{\partial H}{\partial V}\right)_{T}=0 para um gás ideal, sabendo que para esse gás já é dado que \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}=0.\n
Informações/condições fornecidas pelo enunciado que vou usar:
  1. É dado que \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}=0, onde \,U é a energia interna.
  2. Trata-se de um gás ideal, portanto vale a equação de estado \,pV=nRT, onde \,p é a pressão, \,V o volume, \,T a temperatura, \,n a quantidade de mols e \,R a constante universal dos gases.
  3. A tarefa é mostrar que \left(\frac{\partial H}{\partial V}\right)_{T}=0, onde \,H é a entalpia.

Passo 2

Definição e interpretação das grandezas que vou usar (aqui eu te ensino o que é cada uma):\n
A entalpia \,H é definida como
H = U + pV,
onde \,U é a energia interna, \,p a pressão e \,V o volume.
Explicação curta: entalpia é uma combinação conveniente de energia interna com o termo \,pV que aparece em processos à pressão constante. Cada símbolo significa: \,U (energia interna total do sistema), \,p (pressão), \,V (volume), \,H (entalpia).

Passo 3

Vou calcular a derivada parcial de \,H em relação a \,V mantendo \,T constante, aplicando a definição e a regra da soma:
\left(\frac{\partial H}{\partial V}\right)_T = \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T + \left(\frac{\partial (pV)}{\partial V}\right)_T.
Aqui usei a linearidade da derivada parcial: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Nota: \,p pode depender de \,V e de \,T, então a segunda parcela requer cuidado (produto dependente de \,V).

Passo 4

Avalio a derivada do produto \,pV com \,T fixo usando a regra do produto (tratando \,p como função de (T,V)):
\left(\frac{\partial (pV)}{\partial V}\right)_T = p + V\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_T.
Explicação: é análogo à regra do produto em cálculo comum: \frac{d}{dV}(pV)=p + V\frac{dp}{dV}. Aqui a derivada parcial \left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_T significa como a pressão muda quando eu mudo o volume, mantendo a temperatura fixa.

Passo 5

Agora uso a equação de estado do gás ideal \,pV=nRT. Aí existem duas maneiras simples de concluir que \left(\frac{\partial (pV)}{\partial V}\right)_T=0; eu mostro as duas (escolhe a que preferir na prova):
Método A (mais direto): da equação \,pV=nRT vemos que, para \,T fixo, o lado direito \,nRT é constante (não depende de \,V). Logo a derivada de \,pV em relação a \,V com \,T fixo é a derivada de uma constante, isto é,
\left(\frac{\partial (pV)}{\partial V}\right)_T = \frac{\partial (nRT)}{\partial V}\Big|_T = 0.
Método B (usando \left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_T): da equação \,p=\dfrac{nRT}{V} temos
\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_T = -\frac{nRT}{V^2} = -\frac{p}{V}.
Substituindo em \,p + V\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_T
p + V\left(-\frac{p}{V}\right) = p - p = 0.
Ambas as vias mostram que
\left(\frac{\partial (pV)}{\partial V}\right)_T = 0.

Passo 6

Volto à expressão do Passo 3:
\left(\frac{\partial H}{\partial V}\right)_T = \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T + \left(\frac{\partial (pV)}{\partial V}\right)_T.
Pelo enunciado sabemos que \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T=0. Pelo Passo 5 obtivemos \left(\frac{\partial (pV)}{\partial V}\right)_T=0. Somando as duas parcelas:
\left(\frac{\partial H}{\partial V}\right)_T = 0 + 0 = 0.

Passo 7

Interpretação física e conclusão alternativa (para você lembrar na prova): como \,U é dado como função apenas de \,T para um gás ideal (ou seja, \,U=U(T), o que é a mesma informação que \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T=0) e como \,pV=nRT também depende só de \,T quando multiplicados, a entalpia
H = U(T) + nRT
é função apenas de \,T. Assim, se eu vario \,V mantendo \,T fixo, \,H não muda — outra maneira simples de ver que \left(\frac{\partial H}{\partial V}\right)_T=0.
Força aí — é só combinar a definição de \,H com a lei dos gases ideais e a hipótese dada sobre \,U.

Resposta

\left(\dfrac{\partial H}{\partial V}\right)_{T}=0

Exercícios relacionados