3 Dado A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & -1\end{array}\right]. Determine, se existir, A^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 1 \\[4pt] 2 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 2 & -1\end{pmatrix}
e pede: determinar, se existir, A^{-1}.
Informações relevantes fornecidas: os nove elementos de A estão acima (cada elemento é conhecido). Não há indicação explícita de que A seja singular ou invertível, então precisamos verificar e, se existir, calcular A^{-1}.]

Passo 2

O que é A^{-1} e como vamos proceder (explicação didática):
  • A matriz A^{-1} é a matriz que satisfaz
A A^{-1}=I
onde I é a matriz identidade 3\times3. Se A não tiver inversa, dizemos que A é singular.
  • Um método prático e direto para calcular A^{-1} é formar a matriz aumentada [A\mid I] e aplicar operações elementares nas linhas para reduzir o bloco esquerdo a I; o bloco direito então se transforma em A^{-1}.
  • Operações elementares nas linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) preservam a equivalência das soluções e correspondem a multiplicações por matrizes elementares — por isso são permitidas. Vou usar esse método porque é sistemático e adequado para prova e cálculo sem calculadora.

Passo 3

Formo a matriz aumentada [A\mid I]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[4pt] 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 2 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
Cada linha será chamada de R_1,R_2,R_3. O objetivo é transformar o bloco esquerdo em \begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&1&0\\\ 0&0&1\end{pmatrix} aplicando R_i-operações.]

Passo 4

Eliminar o elemento de R_2 na coluna 1 (tornar aquele elemento zero). Faço
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
Calculemos linha a linha:
  • Para a parte esquerda: (2,1,0) - 2(1,-2,1) = (2-2,\,1-2(-2),\,0-2\cdot1) = (0,\,5,\,-2).
  • Para a parte direita: (0,1,0) - 2(1,0,0) = (-2,\,1,\,0).
A matriz aumentada torna-se
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 5 & -2 & -2 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 2 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 5

Tornar o pivô da segunda linha igual a 1. Divido R_2 por 5:
R_2 \leftarrow \tfrac{1}{5}R_2.
Isso dá
R_2 = \left(0,\;1,\;-\tfrac{2}{5}\;\bigg|\;-\tfrac{2}{5},\;\tfrac{1}{5},\;0\right).
Agora a matriz aumentada é
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{2}{5} & -\tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5} & 0 \\[4pt] 0 & 2 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 6

Zerar os elementos da coluna 2 nas outras linhas usando R_2.
a) Eliminar em R_1: faça R_1 \leftarrow R_1 + 2R_2.
  • Parte esquerda: (1,-2,1) + 2(0,1,-\tfrac{2}{5}) = (1,0,1+2(-\tfrac{2}{5})) = (1,0,1-\tfrac{4}{5})=(1,0,\tfrac{1}{5}).
  • Parte direita: (1,0,0) + 2(-\tfrac{2}{5},\tfrac{1}{5},0) = (1-\tfrac{4}{5},\,0+\tfrac{2}{5},\,0) = (\tfrac{1}{5},\,\tfrac{2}{5},\,0).
b) Eliminar em R_3: faça R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2.
  • Parte esquerda: (0,2,-1) - 2(0,1,-\tfrac{2}{5}) = (0,0,-1 + \tfrac{4}{5}) = (0,0,-\tfrac{1}{5}).
  • Parte direita: (0,0,1) - 2(-\tfrac{2}{5},\tfrac{1}{5},0) = (0+\tfrac{4}{5},\,0-\tfrac{2}{5},\,1) = \left(\tfrac{4}{5},\,-\tfrac{2}{5},\,1\right).
Aumentada fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \tfrac{1}{5} & \tfrac{1}{5} & \tfrac{2}{5} & 0 \\[6pt] 0 & 1 & -\tfrac{2}{5} & -\tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5} & 0 \\[6pt] 0 & 0 & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{4}{5} & -\tfrac{2}{5} & 1 \end{array}\right].]

Passo 7

Agora a terceira linha tem pivô -\tfrac{1}{5} na coluna 3. Torná-lo 1 multiplicando R_3 por -5:
R_3 \leftarrow -5R_3.
Calcule:
  • Parte esquerda: -5(0,0,-\tfrac{1}{5}) = (0,0,1).
  • Parte direita: -5\left(\tfrac{4}{5},\,-\tfrac{2}{5},\,1\right) = (-4,\,2,\,-5).
Aumentada passa a
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \tfrac{1}{5} & \tfrac{1}{5} & \tfrac{2}{5} & 0 \\[6pt] 0 & 1 & -\tfrac{2}{5} & -\tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5} & 0 \\[6pt] 0 & 0 & 1 & -4 & 2 & -5 \end{array}\right].]

Passo 8

Zerar os elementos na coluna 3 nas linhas R_1 e R_2 usando R_3.
a) Em R_1: R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{1}{5}R_3.
  • Parte direita de R_1: \left(\tfrac{1}{5},\tfrac{2}{5},0\right) - \tfrac{1}{5}(-4,2,-5)
    = \left(\tfrac{1}{5} + \tfrac{4}{5},\;\tfrac{2}{5} - \tfrac{2}{5},\;0 + 1\right)
    = (1,\,0,\,1).
  • Parte esquerda fica (1,0,0).
b) Em R_2: R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{2}{5}R_3.
  • Parte direita de R_2: \left(-\tfrac{2}{5},\tfrac{1}{5},0\right) + \tfrac{2}{5}(-4,2,-5)
    = \left(-\tfrac{2}{5} - \tfrac{8}{5},\;\tfrac{1}{5} + \tfrac{4}{5},\;0 -2\right)
    = (-2,\,1,\,-2).
  • Parte esquerda fica (0,1,0).
Após essas operações a matriz aumentada é
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\[6pt] 0 & 1 & 0 & -2 & 1 & -2 \\[6pt] 0 & 0 & 1 & -4 & 2 & -5 \end{array}\right].]

Passo 9

Agora o bloco esquerdo é a identidade, logo o bloco direito é A^{-1}. Ou seja,
A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\[4pt] -2 & 1 & -2 \\[4pt] -4 & 2 & -5 \end{pmatrix}.
(Se quiser, na prova é bom verificar rapidamente multiplicando A A^{-1} e checar que dá I. Fizemos checagem mental: o produto retorna a identidade.)]

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\[4pt] -2 & 1 & -2 \\[4pt] -4 & 2 & -5 \end{pmatrix}]

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