2 Determine se o sistema é possível determinado, possível indeterminado, ou impossível. Se for possível, resolva o sistema.
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=3 \\\\ 2 x+5 y-2 z=0 \\\ x+3 y-2 z=-1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar se o sistema é possível determinado (tem solução única), possível indeterminado (infinitas soluções) ou impossível (sem solução) e, se for possível, encontrar as soluções.
As equações fornecidas são:
\begin{cases} x+y+z=3\\[4pt] 2x+5y-2z=0\\[4pt] x+3y-2z=-1 \end{cases}
Portanto temos três equações lineares em três incógnitas x, y e z. A partir daqui vamos transformar esse sistema passo a passo para descobrir o tipo e, se houver, a solução.]

Passo 2

Método escolhido: eliminação (ou escalonamento) por operações elementares entre linhas. Justificativa curta (sem teoria pesada): essa técnica consiste em combinar as equações de modo a eliminar incógnitas progressivamente, obtendo um sistema triangular que facilita a resolução por substituição. É um método direto e prático para sistemas 3\times3.

Passo 3

Escrevemos a matriz aumentada do sistema (coeficientes e termos independentes) para visualizar melhor as operações:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3\\[4pt] 2 & 5 & -2 & 0\\[4pt] 1 & 3 & -2 & -1 \end{array}\right]]

Passo 4

Lembrando as operações permitidas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, ou somar a uma linha um múltiplo de outra. O objetivo é zerar entradas abaixo da diagonal principal (escalonar).

Passo 5

Eliminamos x das equações 2 e 3 usando a linha 1 como pivô.
Operação para a linha 2: R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
Calculemos cada entrada:
  • coeficiente de x: 2-2\cdot1=0,
  • coeficiente de y: 5-2\cdot1=3,
  • coeficiente de z: -2-2\cdot1=-4,
  • termo independente: 0-2\cdot3=-6.
Operação para a linha 3: R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Calculemos:
  • coeficiente de x: 1-1=0,
  • coeficiente de y: 3-1=2,
  • coeficiente de z: -2-1=-3,
  • termo independente: -1-3=-4.
A matriz aumentada vira:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 3 & -4 & -6\\[4pt] 0 & 2 & -3 & -4 \end{array}\right]]

Passo 6

Agora eliminamos o termo de y na linha 3 usando a nova linha 2 como pivô. Uma forma direta é fazer R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{2}{3}R_2. Vamos calcular:
Para y: 2 - \tfrac{2}{3}\cdot 3 = 2-2=0 (ok, zera como queríamos).
Para z: -3 - \tfrac{2}{3}\cdot(-4) = -3 + \tfrac{8}{3} = -\tfrac{9}{3} + \tfrac{8}{3} = -\tfrac{1}{3}.
Para o termo independente: -4 - \tfrac{2}{3}\cdot(-6) = -4 + 4 = 0.
Portanto a linha 3 torna-se [0\;0\;-\tfrac{1}{3}\;|\;0]. Multiplicando essa linha por 3 para ficar mais simples, obtemos [0\;0\;-1\;|\;0].
A matriz escalonada é então
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 3 & -4 & -6\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 0 \end{array}\right]]

Passo 7

Interpretando a terceira linha como equação: -1\cdot z = 0. Logo
z = 0.
Isso nos dá um valor concreto para z.

Passo 8

Substituímos z=0 na segunda equação escalonada (linha 2), que é 3y -4z = -6. Com z=0:
3y = -6 \quad\Rightarrow\quad y = -2.

Passo 9

Substituímos y=-2 e z=0 na primeira equação original x+y+z=3:
x + (-2) + 0 = 3 \quad\Rightarrow\quad x = 3+2 = 5.

Passo 10

Verificação rápida: substituindo (x,y,z)=(5,-2,0) nas outras equações:
  • 2x+5y-2z = 2\cdot5 +5\cdot(-2) -2\cdot0 = 10-10 = 0 (ok);
  • x+3y-2z = 5 +3\cdot(-2) -0 = 5-6 = -1 (ok).
    Como encontramos valores únicos que satisfazem todas as equações, o sistema tem exatamente uma solução.

Resposta

Sistema possível determinado.
(x,y,z)=(5,-2,0)

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