O enunciado pede duas coisas: determinar se o sistema é possível determinado (tem solução única), possível indeterminado (infinitas soluções) ou impossível (sem solução) e, se for possível, encontrar as soluções.
As equações fornecidas são:
Portanto temos três equações lineares em três incógnitas x, y e z. A partir daqui vamos transformar esse sistema passo a passo para descobrir o tipo e, se houver, a solução.]
Passo 2
Método escolhido: eliminação (ou escalonamento) por operações elementares entre linhas. Justificativa curta (sem teoria pesada): essa técnica consiste em combinar as equações de modo a eliminar incógnitas progressivamente, obtendo um sistema triangular que facilita a resolução por substituição. É um método direto e prático para sistemas 3\times3.
Passo 3
Escrevemos a matriz aumentada do sistema (coeficientes e termos independentes) para visualizar melhor as operações:
Lembrando as operações permitidas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, ou somar a uma linha um múltiplo de outra. O objetivo é zerar entradas abaixo da diagonal principal (escalonar).
Passo 5
Eliminamos x das equações 2 e 3 usando a linha 1 como pivô.
Operação para a linha 2: R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
Calculemos cada entrada:
coeficiente de x: 2-2\cdot1=0,
coeficiente de y: 5-2\cdot1=3,
coeficiente de z: -2-2\cdot1=-4,
termo independente: 0-2\cdot3=-6.
Operação para a linha 3: R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Calculemos:
Agora eliminamos o termo de y na linha 3 usando a nova linha 2 como pivô. Uma forma direta é fazer R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{2}{3}R_2. Vamos calcular:
Para y: 2 - \tfrac{2}{3}\cdot 3 = 2-2=0 (ok, zera como queríamos).