1 Determine x e y para que (A+B) \cdot C=D. Dado:
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & x & -x \\\\ 2 & -1 & y \end{array}\right] ; B=\left[\begin{array}{ccc} -x & 1 & 0 \\\\ 3 & 1 & 0 \end{array}\right] ; C=\left[\begin{array}{c} -1 \\\\ 2 \\\\ 2 x \end{array}\right] ; D=\left[\begin{array}{c} 1 \\\\ -3 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: determinar x e y de forma que (A+B)\cdot C = D. As matrizes dadas são:
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & x & -x \\\\ 2 & -1 & y \end{array}\right],\qquad B=\left[\begin{array}{ccc} -x & 1 & 0 \\\\ 3 & 1 & 0 \end{array}\right],
C=\left[\begin{array}{c} -1 \\\\ 2 \\\\ 2x \end{array}\right],\qquad D=\left[\begin{array}{c} 1 \\\\ -3 \end{array}\right].
Informações relevantes que temos: A e B são matrizes 2\times3, C é vetor coluna 3\times1 e D é vetor coluna 2\times1. O produto (A+B)\cdot C é válido e resulta num vetor 2\times1, que deve ser igual a D.

Passo 2

Primeiro calculemos A+B. A adição de matrizes é feita somando termo a termo (cada entrada da soma é a soma das entradas correspondentes):
A+B=\left[\begin{array}{ccc} 1+(-x) & x+1 & -x+0 \\\\ 2+3 & -1+1 & y+0 \end{array}\right].
Fazendo as somas simples:
A+B=\left[\begin{array}{ccc} 1-x & x+1 & -x \\\\ 5 & 0 & y \end{array}\right].

Passo 3

Agora vamos multiplicar (A+B) pelo vetor C. Regra: se M é 2\times3 e C é 3\times1, o produto M C é um vetor 2\times1 cujas entradas são produtos escalares (dot products) entre as linhas de M e o vetor C. O vetor C tem entradas -1, 2 e 2x (peguei esses valores do enunciado).
A primeira entrada do produto é a linha 1 de A+B vezes C:
\text{entrada}_1 = (1-x)(-1) + (x+1)\cdot 2 + (-x)\cdot(2x).

Passo 4

Vamos expandir cuidadosamente a primeira entrada:
(1-x)(-1) = -1 + x,
(x+1)\cdot 2 = 2x + 2,
(-x)\cdot(2x) = -2x^2.
Somando tudo:
\text{entrada}_1 = -1 + x + 2x + 2 - 2x^2 = -2x^2 + 3x + 1.

Passo 5

A segunda entrada do produto é a linha 2 de A+B vezes C. A linha 2 é [5,\;0,\;y], então
\text{entrada}_2 = 5\cdot(-1) + 0\cdot 2 + y\cdot(2x) = -5 + 2xy.

Passo 6

Portanto temos
(A+B)\cdot C = \left[\begin{array}{c} -2x^2 + 3x + 1 \\\\ -5 + 2xy \end{array}\right].
Queremos que isso seja igual a D=\left[\begin{array}{c}1\\\ -3\end{array}\right]. Igualando componente a componente obtemos o sistema:
-2x^2 + 3x + 1 = 1,
-5 + 2xy = -3.

Passo 7

Simplifiquemos cada equação. Na primeira:
-2x^2 + 3x + 1 = 1 \Longrightarrow -2x^2 + 3x = 0.
Fatorando:
x(-2x + 3) = 0,
logo as possibilidades são \displaystyle x=0 ou \displaystyle -2x+3=0 \Rightarrow x=\frac{3}{2}.
Da segunda equação:
-5 + 2xy = -3 \Longrightarrow 2xy = 2 \Longrightarrow xy = 1.
Então y = \dfrac{1}{x}, desde que x\neq 0.

Passo 8

Agora testamos as possibilidades de x:
  • Se x=0, então a condição xy=1 ficaria 0\cdot y = 1, impossível. Logo x=0 não serve.
  • Se x=\dfrac{3}{2}, então
y = \frac{1}{x} = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3}.
Isso satisfaz xy=1 e a primeira equação (pois x=\tfrac{3}{2} veio da primeira equação).
Portanto a solução válida é \displaystyle x=\frac{3}{2} e \displaystyle y=\frac{2}{3}.

Resposta

\displaystyle (x,y)=\left(\frac{3}{2},\frac{2}{3}\right)

Exercícios relacionados