Dado A=\left[\begin{array}{ccc}4 & 2 & 0 \\\\ -1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2\end{array}\right] e X=\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right] Resolva a equação A X=2 X.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os vetores X\in\mathbb{R}^3 tais que
A\,X=2\,X,
ou seja, os autovetores de A associados ao autovalor \lambda=2. Para isso vamos montar o sistema homogêneo
(A-2I)X=0.

Passo 2

Vamos calcular a matriz A-2I. Temos
A-2I =\begin{pmatrix} 4-2 & 2 & 0 \\\\ -1 & 1-2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2-2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\\\ -1& -1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

O sistema (A-2I)X=0 em coordenadas (x,y,z) fica
\begin{cases} 2x + 2y + 0z = 0\\\\ -\,x -\,y + 0z = 0\\\\ 0x + \,y + 0z = 0 \end{cases}.

Passo 4

Da terceira equação vem \,y=0. Substituindo em 2x+2y=0 2x=0, logo x=0. A segunda equação é redundante. O parâmetro z fica livre.

Resposta

A solução geral é
X=(x,y,z)^\mathsf{T}=(0,0,z)^\mathsf{T}
ou, de forma vetorial,
X = t\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}, \quad t\in\mathbb{R}.

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