Dado que
encontre, se existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, se existir, o valor do limite
As informações fornecidas são (estas são as coisas que o problema dá):
-
-
(essa não será necessária aqui, mas está dada) -
Passo 2
Regra que vou usar (explicada como se estivéssemos conversando): quando temos limites de funções que existem finitos, podemos combinar esses limites seguindo regras simples:
- Regra da constante multiplicativa: se
e é constante, então
Aqui
é apenas um número real e
é o limite de
.
- Regra da soma/subtração: se
e , então
- Regra do quociente: se
, e , então
Importante: o quociente só vale se o limite do denominador for diferente de zero. Se o limite do denominador for zero, pode ser que o limite não exista ou seja infinito — aí precisamos de mais informação.
Passo 3
Aplicando a regra da constante multiplicativa ao numerador: como
e o numerador é
, temos
Passo 4
Calculei explicitamente o limite do numerador:
Aqui cada passo é só usar a regra que expliquei: multiplicar o limite por
.
Passo 5
Agora o denominador: é
. Uso a regra da subtração de limites. Como
e
, então
Passo 6
Calculei explicitamente o limite do denominador:
Note que esse valor é diferente de zero, portanto a condição da regra do quociente está satisfeita.
Passo 7
Agora aplico a regra do quociente: os limites do numerador e do denominador existem e o limite do denominador é não nulo (
), logo