Dado que
\lim _{x \rightarrow a} f(x)=-3 \quad \lim _{x \rightarrow a} g(x)=0 \quad \lim _{x \rightarrow a} h(x)=8
encontre, se existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.
\lim _{x \rightarrow a} \frac{2 f(x)}{h(x)-f(x)}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, se existir, o valor do limite
\lim_{x\to a} \frac{2f(x)}{h(x)-f(x)}.
As informações fornecidas são (estas são as coisas que o problema dá):
  • \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = -3.
  • \displaystyle \lim_{x\to a} g(x) = 0. (essa não será necessária aqui, mas está dada)
  • \displaystyle \lim_{x\to a} h(x) = 8.

Passo 2

Regra que vou usar (explicada como se estivéssemos conversando): quando temos limites de funções que existem finitos, podemos combinar esses limites seguindo regras simples:
  • Regra da constante multiplicativa: se \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=L e c é constante, então
\lim_{x\to a} c\cdot f(x) = c\cdot L.
Aqui c é apenas um número real e L é o limite de f.
  • Regra da soma/subtração: se \displaystyle \lim_{x\to a} u(x)=U e \displaystyle \lim_{x\to a} v(x)=V, então
\lim_{x\to a} \big(u(x)\pm v(x)\big)=U\pm V.
  • Regra do quociente: se \displaystyle \lim_{x\to a} u(x)=U, \displaystyle \lim_{x\to a} v(x)=V e V\neq 0, então
\lim_{x\to a} \frac{u(x)}{v(x)}=\frac{U}{V}.
Importante: o quociente só vale se o limite do denominador for diferente de zero. Se o limite do denominador for zero, pode ser que o limite não exista ou seja infinito — aí precisamos de mais informação.

Passo 3

Aplicando a regra da constante multiplicativa ao numerador: como \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = -3 e o numerador é 2f(x), temos
\lim_{x\to a} 2f(x) = 2\cdot\big(\lim_{x\to a} f(x)\big)=2\cdot(-3).

Passo 4

Calculei explicitamente o limite do numerador:
\lim_{x\to a} 2f(x) = 2\cdot(-3) = -6.
Aqui cada passo é só usar a regra que expliquei: multiplicar o limite por 2.

Passo 5

Agora o denominador: é h(x)-f(x). Uso a regra da subtração de limites. Como \displaystyle \lim_{x\to a} h(x)=8 e \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=-3, então
\lim_{x\to a}\big(h(x)-f(x)\big)=8-(-3).

Passo 6

Calculei explicitamente o limite do denominador:
\lim_{x\to a}\big(h(x)-f(x)\big)=8-(-3)=11.
Note que esse valor é diferente de zero, portanto a condição da regra do quociente está satisfeita.

Passo 7

Agora aplico a regra do quociente: os limites do numerador e do denominador existem e o limite do denominador é não nulo ( 11), logo
\lim_{x\to a} \frac{2f(x)}{h(x)-f(x)} = \frac{\displaystyle \lim_{x\to a}2f(x)}{\displaystyle \lim_{x\to a}\big(h(x)-f(x)\big)} = \frac{-6}{11}.

Resposta

-\dfrac{6}{11}

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