1. Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.
    \lim _{x \rightarrow-2} f(x)=\infty, \quad \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=3, \quad \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=-3)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele dá.
  • O que o enunciado pede: esboçar o gráfico de um exemplo de função f que satisfaça as três condições abaixo (ou seja, encontrar uma função concreta e descrever seu gráfico).
  • Informações dadas (condições que f deve satisfazer):
    • \displaystyle \lim_{x\to -2} f(x)=\infty.
    • \displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x)=3.
    • \displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x)=-3.

Passo 2

Vou explicar o significado de cada uma dessas condições — isso é importante para saber que tipo de comportamento eu preciso forçar na função.
  • \displaystyle \lim_{x\to -2} f(x)=\infty significa que x=-2 é uma assíntota vertical da função e, ao nos aproximarmos de -2 por qualquer lado, os valores de f(x) crescem sem limite (positivo). No esboço isso aparece como uma “reta vertical” x=-2 à qual o gráfico se aproxima e sobe para +\infty.
  • \displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x)=3 significa que, à esquerda (quando x vai para menos infinito), o gráfico se aproxima da reta horizontal y=3. Essa reta é uma assíntota horizontal pelo lado esquerdo.
  • \displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x)=-3 significa que, à direita (quando x vai para mais infinito), o gráfico se aproxima da reta horizontal y=-3. Essa é uma assíntota horizontal pelo lado direito.
Observação útil: é perfeitamente possível que uma função tenha duas assíntotas horizontais diferentes à esquerda e à direita (uma em x\to-\infty e outra em x\to\infty). Também precisamos garantir que o comportamento em x=-2 seja de explosão positiva em ambos os lados (tende a +\infty).

Passo 3

Estratégia para construir uma função que satisfaça tudo:
  • Construir primeiro uma função g(x) que já tenha os limites horizontais desejados: g(x)\to 3 quando x\to -\infty e g(x)\to -3 quando x\to\infty.
  • Acrescentar a essa função um termo h(x) que provoque um pico vertical em x=-2 (isto é, que tenda a +\infty quando x\to-2), mas que tenda a 0 quando x\to\pm\infty — assim h não altera as assíntotas horizontais já impostas por g.
Explicando a lógica: se g(x) tem as assíntotas horizontais e h(x)\to 0 nos infinitos, então g(x)+h(x) terá as mesmas assíntotas horizontais. E se h(x) tem um divergir vertical em x=-2 para +\infty, então g+h também diverge para +\infty em x=-2.

Passo 4

Escolhendo uma boa g(x). Uma escolha simples e muito usada é a função logística deslocada/escala:
g(x) = -3 + \frac{6}{1+e^{x}}.
Vou mostrar por que essa g tem os limites horizontais desejados.
  • Se x\to -\infty então e^{x}\to 0. Assim
\lim_{x\to -\infty} g(x) = -3 + \frac{6}{1+0} = -3 + 6 = 3.
  • Se x\to \infty então e^{x}\to \infty. Assim
\lim_{x\to \infty} g(x) = -3 + \frac{6}{1+\infty} = -3 + 0 = -3.
Portanto g dá exatamente as assíntotas horizontais que precisamos: y=3 à esquerda e y=-3 à direita. Além disso g é suave e varia entre cerca de 3 (quando x muito negativo) para -3 (quando x muito positivo).

Passo 5

Escolhendo um bom h(x) que cria a assíntota vertical em x=-2 e que desaparece nos infinitos.
  • Para que h(x) tenda a +\infty quando x\to -2 vindo de qualquer lado, uma opção natural é usar algo com (x+2)^2 no denominador: \dfrac{1}{(x+2)^2} diverge para +\infty tanto pela esquerda quanto pela direita de -2.
  • Para que h(x)\to 0 quando x\to\pm\infty, multiplico por um fator decrescente como \dfrac{1}{1+x^2} (que tende a 0 quando |x|\to\infty).
Assim uma escolha simples é
h(x)=\frac{1}{(x+2)^2(1+x^2)}.
Verificações rápidas:
  • Quando x\to -2, (x+2)^2\to 0^+ e 1+x^2 é aproximadamente 1+4=5, então h(x)\to +\infty.
  • Quando x\to \pm\infty, (x+2)^2(1+x^2) cresce como x^4, então h(x)\to 0.

Passo 6

Agora defino a função candidata somando os dois termos:
f(x)= -3 + \frac{6}{1+e^{x}} + \frac{1}{(x+2)^2(1+x^2)}.
Vou verificar as três condições usando propriedades de limites (limite da soma é soma dos limites quando os limites existem/deveres):
  1. Limite em x\to -2:
  • O termo g(x)=-3+\dfrac{6}{1+e^{x}} é finito em x=-2 (é apenas um número).
  • O termo h(x)=\dfrac{1}{(x+2)^2(1+x^2)} tende a +\infty quando x\to -2.
  • Soma de um número finito com algo que tende a +\infty tende a +\infty. Logo
\lim_{x\to -2} f(x)=\infty.
  1. Limite em x\to -\infty:
  • \lim_{x\to -\infty} g(x)=3 (mostrei isso).
  • \lim_{x\to -\infty} h(x)=0 porque h(x) decai como 1/x^4.
  • Portanto
\lim_{x\to -\infty} f(x)=3+0=3.
  1. Limite em x\to \infty:
  • \lim_{x\to \infty} g(x)=-3.
  • \lim_{x\to \infty} h(x)=0.
  • Portanto
\lim_{x\to \infty} f(x)=-3+0=-3.
Assim f satisfaz exatamente as três condições do enunciado.

Passo 7

Como esboçar o gráfico de f (dicas práticas passo a passo para você reproduzir na prova a mão):
  • Desenhe a assíntota vertical x=-2 (reta tracejada vertical).
  • Desenhe as assíntotas horizontais: y=3 (linha tracejada à esquerda — o gráfico tenderá a ela quando x\to -\infty) e y=-3 (linha tracejada à direita — o gráfico tenderá a ela quando x\to\infty).
  • Para x muito negativo, o gráfico fica perto de y=3. À medida que x aumenta, g(x) desce suavemente de 3 para -3; o termo h(x) é praticamente zero longe de -2, então o comportamento longe de -2 segue a curva suave de g.
  • Aproximando de x=-2, o termo h(x) começa a dominar: f(x) sobe muito e verticalmente para +\infty quando x\to -2 (nos dois lados).
  • Entre -2 e valores positivos x o gráfico deve cruzar para valores menores e depois aproximar-se de y=-3 quando x fica grande. Não há nenhum requisito sobre continuidade ou número de cruzamentos; o que importa é a presença das assíntotas dadas.
  • Para ter pontos de referência calcule valores rápidos (aproximações) para alguns x e marque no esboço. Por exemplo (aproximações):
    • f(-3)\approx 2{,}81 (próximo de 3 à esquerda).
    • f(-1)\approx 1{,}89.
    • f(0)\approx 0{,}25.
    • f(5)\approx -2{,}96 (já bem perto de -3).
  • Trace o gráfico ligando esses pontos de forma suave, lembrando do salto para +\infty em x=-2.
Dica de visualização: pense em g(x) como uma “rampa” contínua que vai de 3 (esquerda) para -3 (direita) e em h(x) como um “pico estreito” centrado em -2 que é desprezível longe de -2 mas que explode para +\infty quando x chega em -2.

Passo 8

Resumo e motivação final (para você memorizar o método):
  • Para impor assíntotas horizontais diferentes à esquerda e à direita, funções do tipo logísticas ou funções com e^{x} são muito úteis porque têm limites distintos em \pm\infty.
  • Para criar uma assíntota vertical de sinal positivo em ambos os lados, use um denominador com (x-a)^2 (ou outra potência par) para garantir que o sinal não mude ao atravessar a.
  • Para que o termo que cria a assíntota vertical não perturbe os comportamentos em \pm\infty, faça esse termo decair para zero quando |x|\to\infty (por exemplo multiplicando por 1/(1+x^2) ou algo similar).

Resposta

f(x)= -3 + \frac{6}{1+e^{x}} + \frac{1}{(x+2)^2(1+x^2)}

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