- Esboce o gráfico de um exemplo de uma função
que satisfaça a todas as condições dadas.
\lim _{x \rightarrow-2} f(x)=\infty, \quad \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=3, \quad \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=-3)
\lim _{x \rightarrow-2} f(x)=\infty, \quad \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=3, \quad \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=-3)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele dá.
- O que o enunciado pede: esboçar o gráfico de um exemplo de função
que satisfaça as três condições abaixo (ou seja, encontrar uma função concreta e descrever seu gráfico). - Informações dadas (condições que
deve satisfazer): -
. -
. -
.
-
Passo 2
Vou explicar o significado de cada uma dessas condições — isso é importante para saber que tipo de comportamento eu preciso forçar na função.
-
significa que é uma assíntota vertical da função e, ao nos aproximarmos de por qualquer lado, os valores de crescem sem limite (positivo). No esboço isso aparece como uma “reta vertical” à qual o gráfico se aproxima e sobe para . -
significa que, à esquerda (quando vai para menos infinito), o gráfico se aproxima da reta horizontal . Essa reta é uma assíntota horizontal pelo lado esquerdo. -
significa que, à direita (quando vai para mais infinito), o gráfico se aproxima da reta horizontal . Essa é uma assíntota horizontal pelo lado direito.
Observação útil: é perfeitamente possível que uma função tenha duas assíntotas horizontais diferentes à esquerda e à direita (uma em
e outra em
). Também precisamos garantir que o comportamento em
seja de explosão positiva em ambos os lados (tende a
).
Passo 3
Estratégia para construir uma função que satisfaça tudo:
- Construir primeiro uma função
que já tenha os limites horizontais desejados: quando e quando . - Acrescentar a essa função um termo
que provoque um pico vertical em (isto é, que tenda a quando ), mas que tenda a quando — assim não altera as assíntotas horizontais já impostas por .
Explicando a lógica: se
tem as assíntotas horizontais e
nos infinitos, então
terá as mesmas assíntotas horizontais. E se
tem um divergir vertical em
para
, então
também diverge para
em
.
Passo 4
Escolhendo uma boa
. Uma escolha simples e muito usada é a função logística deslocada/escala:
Vou mostrar por que essa
tem os limites horizontais desejados.
- Se
então . Assim
- Se
então . Assim
Portanto
dá exatamente as assíntotas horizontais que precisamos:
à esquerda e
à direita. Além disso
é suave e varia entre cerca de
(quando
muito negativo) para
(quando
muito positivo).
Passo 5
Escolhendo um bom
que cria a assíntota vertical em
e que desaparece nos infinitos.
- Para que
tenda a quando vindo de qualquer lado, uma opção natural é usar algo com no denominador: diverge para tanto pela esquerda quanto pela direita de . - Para que
quando , multiplico por um fator decrescente como (que tende a quando ).
Assim uma escolha simples é
Verificações rápidas:
- Quando
, e é aproximadamente , então . - Quando
, cresce como , então .
Passo 6
Agora defino a função candidata somando os dois termos:
Vou verificar as três condições usando propriedades de limites (limite da soma é soma dos limites quando os limites existem/deveres):
- Limite em
:
- O termo
é finito em (é apenas um número). - O termo
tende a quando . - Soma de um número finito com algo que tende a
tende a . Logo
- Limite em
:
-
(mostrei isso). -
porque decai como . - Portanto
- Limite em
:
-
. -
. - Portanto
Assim
satisfaz exatamente as três condições do enunciado.
Passo 7
Como esboçar o gráfico de
(dicas práticas passo a passo para você reproduzir na prova a mão):
- Desenhe a assíntota vertical
(reta tracejada vertical). - Desenhe as assíntotas horizontais:
(linha tracejada à esquerda — o gráfico tenderá a ela quando ) e (linha tracejada à direita — o gráfico tenderá a ela quando ). - Para
muito negativo, o gráfico fica perto de . À medida que aumenta, desce suavemente de para ; o termo é praticamente zero longe de , então o comportamento longe de segue a curva suave de . - Aproximando de
, o termo começa a dominar: sobe muito e verticalmente para quando (nos dois lados). - Entre
e valores positivos o gráfico deve cruzar para valores menores e depois aproximar-se de quando fica grande. Não há nenhum requisito sobre continuidade ou número de cruzamentos; o que importa é a presença das assíntotas dadas. - Para ter pontos de referência calcule valores rápidos (aproximações) para alguns
e marque no esboço. Por exemplo (aproximações): -
(próximo de à esquerda). -
. -
. -
(já bem perto de ).
-
- Trace o gráfico ligando esses pontos de forma suave, lembrando do salto para
em .
Dica de visualização: pense em
como uma “rampa” contínua que vai de
(esquerda) para
(direita) e em
como um “pico estreito” centrado em
que é desprezível longe de
mas que explode para
quando
chega em
.
Passo 8
Resumo e motivação final (para você memorizar o método):
- Para impor assíntotas horizontais diferentes à esquerda e à direita, funções do tipo logísticas ou funções com
são muito úteis porque têm limites distintos em . - Para criar uma assíntota vertical de sinal positivo em ambos os lados, use um denominador com
(ou outra potência par) para garantir que o sinal não mude ao atravessar . - Para que o termo que cria a assíntota vertical não perturbe os comportamentos em
, faça esse termo decair para zero quando (por exemplo multiplicando por ou algo similar).