Calcule o limite, se existir.
\lim _{t \rightarrow 2} \frac{t^{2}+t-6}{t^{2}-4}

Passo 1

O problema pede calcular o limite
\lim_{t \to 2} \frac{t^{2}+t-6}{t^{2}-4}.
Informações dadas:
  • O numerador é o polinômio \,t^{2}+t-6\,.
  • O denominador é o polinômio \,t^{2}-4\,.
  • O ponto de interesse para o limite é t=2.

Passo 2

Entendendo o que testar primeiro: quando temos o limite de uma função que é uma razão de polinômios, uma regra simples é tentar a substituição direta (avaliar numerador e denominador em t=2). Isso funciona sempre que o denominador não for zero — pois polinômios são funções contínuas e a regra da substituição vale. Vamos então avaliar numerador e denominador em t=2:
\text{numerador em }2: \;2^{2}+2-6 = 4+2-6 = 0,
\text{denominador em }2: \;2^{2}-4 = 4-4 = 0.
Como a substituição direta dá a forma indeterminada \frac{0}{0}, não podemos concluir o valor do limite por substituição simples. Quando aparece \frac{0}{0}, isso indica que a expressão pode ter um fator comum que se anula em t=2; precisamos simplificar algebricamente antes de avaliar o limite.

Passo 3

Vamos aprender a fatorar para simplificar. Para fatorar um polinômio do segundo grau \,t^{2}+bt+c\, procuramos dois números cuja soma seja b e cujo produto seja c.
Aplicando ao numerador \,t^{2}+t-6\,:
  • Precisamos de dois números com soma 1 e produto -6. Esses números são 3 e -2.
    Logo
t^{2}+t-6 = (t+3)(t-2).
Para o denominador \,t^{2}-4\, reconhecemos uma diferença de quadrados:
t^{2}-4 = (t-2)(t+2).

Passo 4

Agora escrevemos a expressão original usando as fatorações encontradas:
\frac{t^{2}+t-6}{t^{2}-4} = \frac{(t+3)(t-2)}{(t-2)(t+2)}.
Como estamos calculando o limite quando t \to 2 (ou seja, em valores de t próximos de 2, distintos de 2), podemos cancelar o fator comum (t-2) desde que t \neq 2. Após o cancelamento obtemos uma expressão equivalente para todo t próximo de 2, exceto exatamente t=2:
\frac{t^{2}+t-6}{t^{2}-4} = \frac{t+3}{t+2}\qquad (t\neq 2).
Matematicamente isso corresponde a remover uma descontinuidade removível: a função original coincide com \dfrac{t+3}{t+2} em todos os pontos próximos de 2, exceto em 2 onde a expressão original não está definida.

Passo 5

A função simplificada \dfrac{t+3}{t+2} é contínua em t=2 (porque o denominador t+2 em t=2 vale 4\neq0). Então podemos avaliar o limite substituindo t=2 nessa expressão:
\lim_{t\to 2}\frac{t^{2}+t-6}{t^{2}-4} = \lim_{t\to 2}\frac{t+3}{t+2} = \frac{2+3}{2+2} = \frac{5}{4}.
Se preferir em decimal, \frac{5}{4}=1,25.

Passo 6

Resumo rápido do método (dica prática para a prova): ao encontrar \frac{0}{0} ao tentar a substituição direta, procure fatorar numerador e denominador e cancelar fatores comuns. Depois de simplificar, avalie a expressão simplificada no ponto. Isso resolve a maioria dos limites racionais com forma indeterminada.

Resposta

\dfrac{5}{4}

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