Calcule o limite, se existir.
Passo 1
O problema pede calcular o limite
Informações dadas:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
. - O ponto de interesse para o limite é
.
Passo 2
Entendendo o que testar primeiro: quando temos o limite de uma função que é uma razão de polinômios, uma regra simples é tentar a substituição direta (avaliar numerador e denominador em
). Isso funciona sempre que o denominador não for zero — pois polinômios são funções contínuas e a regra da substituição vale. Vamos então avaliar numerador e denominador em
:
Como a substituição direta dá a forma indeterminada
, não podemos concluir o valor do limite por substituição simples. Quando aparece
, isso indica que a expressão pode ter um fator comum que se anula em
; precisamos simplificar algebricamente antes de avaliar o limite.
Passo 3
Vamos aprender a fatorar para simplificar. Para fatorar um polinômio do segundo grau
procuramos dois números cuja soma seja
e cujo produto seja
.
Aplicando ao numerador
:
- Precisamos de dois números com soma
e produto . Esses números são e .
Logo
Para o denominador
reconhecemos uma diferença de quadrados:
Passo 4
Agora escrevemos a expressão original usando as fatorações encontradas:
Como estamos calculando o limite quando
(ou seja, em valores de
próximos de
, distintos de
), podemos cancelar o fator comum
desde que
. Após o cancelamento obtemos uma expressão equivalente para todo
próximo de
, exceto exatamente
:
Matematicamente isso corresponde a remover uma descontinuidade removível: a função original coincide com
em todos os pontos próximos de
, exceto em
onde a expressão original não está definida.
Passo 5
A função simplificada
é contínua em
(porque o denominador
em
vale
). Então podemos avaliar o limite substituindo
nessa expressão:
Se preferir em decimal,
.
Passo 6
Resumo rápido do método (dica prática para a prova): ao encontrar
ao tentar a substituição direta, procure fatorar numerador e denominador e cancelar fatores comuns. Depois de simplificar, avalie a expressão simplificada no ponto. Isso resolve a maioria dos limites racionais com forma indeterminada.