Dado m \in \omega, prove que sempre temos m \cdot 1=1 \cdot m.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo m\in\omega,
m\cdot 1 = 1\cdot m.
Aqui usamos a definição de multiplicação nos números de Peano: para todo n,k\in\omega,
n\cdot 0 = 0 \quad\text{e}\quad n\cdot S(k) = n\cdot k + n,
onde S(k) é o sucessor de k. Também temos 1 = S(0). Para provar a igualdade, vamos mostrar primeiro \,m\cdot 1 = m, e depois \,1\cdot m = m, por indução em m.

Passo 2

Prova de m\cdot 1 = m por indução em m.
Base m=0:
0\cdot 1 = 0\cdot S(0) = 0\cdot 0 + 0 = 0 + 0 = 0,
logo 0\cdot 1 = 0.
Passo indutivo: suponha m\cdot 1 = m. Então para S(m) temos
S(m)\cdot 1 = S(m)\cdot S(0) = S(m)\cdot 0 + S(m) = 0 + S(m) = S(m).
Portanto S(m)\cdot 1 = S(m). Isso completa a indução, mostrando que m\cdot 1 = m para todo m.

Passo 3

Prova de 1\cdot m = m por indução em m.
Base m=0:
1\cdot 0 = 1\cdot 0 = 0
pela definição n\cdot 0=0. Logo 1\cdot 0 = 0.
Passo indutivo: suponha 1\cdot m = m. Então para S(m) vale
1\cdot S(m) = 1\cdot m + 1 = m + 1 = S(m).
Assim 1\cdot S(m) = S(m), completando a indução e mostrando que 1\cdot m = m para todo m.

Resposta

Como demonstramos que
m\cdot 1 = m \quad\text{e}\quad 1\cdot m = m,
concluímos que para todo m\in\omega
m\cdot 1 = 1\cdot m.

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