Dado
, prove que sempre temos
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
,
Aqui usamos a definição de multiplicação nos números de Peano: para todo
,
onde
é o sucessor de
. Também temos
. Para provar a igualdade, vamos mostrar primeiro
, e depois
, por indução em
.
Passo 2
Prova de
por indução em
.
Base
:
logo
.
Passo indutivo: suponha
. Então para
temos
Portanto
. Isso completa a indução, mostrando que
para todo
.
Passo 3
Prova de
por indução em
.
Base
:
pela definição
. Logo
.
Passo indutivo: suponha
. Então para
vale
Assim
, completando a indução e mostrando que
para todo
.
Resposta
Como demonstramos que
concluímos que para todo